高考数学一轮复习导数与函数的极值最值教学案

第三节 导数与函数的极值、最值

[最新考纲] 1.了解函数在某点取得的极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次).3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．

(对应学生用书第44页)

1．导数与函数的极值 (1)函数的极大值与导数的关系

x f′(x) y＝f(x) 图示 (a，x0) ＋ ↗ 极大值点x0 0 极大值 (x0，b) － ↘ (2)函数的极小值与导数的关系 x f′(x) y＝f(x) 图示 (a，x0) － ↘ 极小值点x0 0 极小值 (x0，b) ＋ ↗ 2．求f(x)在[a，b]上的最大(小)值 (1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．

(2)将函数y＝f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，最大的为最大值，最小的为最小值． [常用结论]

对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的极大值不一定比极小值大． ( )

(2)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件． (3)函数的极大值一定是函数的最大值． ( ) (4)开区间上的单调连续函数无最值． ( )

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( )

[答案](1)√ (2)× (3)× (4)√ 二、教材改编

1.函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图像如图所示，则函数f(x)( )

A．无极大值点、有四个极小值点 B．有三个极大值点、一个极小值点 C．有两个极大值点、两个极小值点 D．有四个极大值点、无极小值点

C [设f′(x)的图像与x轴的4个交点从左至右依次为x1，x2，x3，x4.

当x＜x1时，f′(x)＞0，f(x)为增函数，当x1＜x＜x2时，f′(x)＜0，f(x)为减函数，则x＝x1为极大值点，同理，x＝x3为极大值点，x＝x2，x＝x4为极小值点，故选C.]

2

2．设函数f(x)＝＋ln x，则( )

x1

A．x＝为f(x)的极大值点

21

B．x＝为f(x)的极小值点

2C．x＝2为f(x)的极大值点 D．x＝2为f(x)的极小值点

21x－2

D [f′(x)＝－2＋＝2(x＞0)，

xxx当0＜x＜2时，f′(x)＜0，当x＞2时，f′(x)＞0， 所以x＝2为f(x)的极小值点．] 3．函数y＝xe的最小值是________．

1xxxx－ [因为y＝xe，所以y′＝e＋xe＝(1＋x)e.当x＞－1时，y′＞0；当x＜－1时，e

xy′＜0，所以当x＝－1时函数取得最小值，且ymin＝－.]

4．函数f(x)＝x－aln x(a＞0)的极小值为________．

1e

a－aln a [因为f(x)＝x－aln x(a＞0)，所以f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1

－(a＞0)，

由f′(x)＝0，解得x＝a. 当x∈(0，a)时，f′(x)＜0；

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ax

当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0，

所以函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a．]

(对应学生用书第45页)

⊙考点1 利用导数解决函数的极值问题

利用导数研究函数极值问题的一般流程

根据函数图像判断函数极值的情况

设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图像

如图所示，则下列结论中一定成立的是( )

A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1) C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2) D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)

D [由题图可知，当x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜1时，f′(x)＜0；当1＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在

x＝2处取得极小值．]

可导函数在极值点处的导数一定为零，是否为极值点以及是极大值点还是极小

值点要看在极值点左、右两侧导数的符号．

求已知函数的极值

已知函数f(x)＝(x－2)(e－ax)，当a＞0时，讨论f(x)的极值情况．

[解] ∵f′(x)＝(e－ax)＋(x－2)(e－a) ＝(x－1)(e－2a)，∵a＞0，

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xxxx

由f′(x)＝0得x＝1或x＝ln 2a. ex①当a＝时，f′(x)＝(x－1)(e－e)≥0，

2∴f(x)在R上单调递增，故f(x)无极值．

e

②当0＜a＜时，ln 2a＜1，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

2

x f′(x) f(x) (－∞，ln 2a) ＋ ↗ ln 2a 0 极大值 2(ln 2a,1) － ↘ 1 0 极小值 (1，＋∞) ＋ ↗ 故f(x)有极大值f(ln 2a)＝－a(ln 2a－2)，极小值f(1)＝a－e. e

③当a＞时，ln 2a＞1，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

2

x f′(x) f(x) (－∞，1) ＋ ↗ 1 0 极大值 (1，ln 2a) － ↘ ln 2a 0 极小值 (ln 2a，＋∞) ＋ ↗ 故f(x)有极大值f(1)＝a－e， 极小值f(ln 2a)＝－a(ln 2a－2).

e2

综上，当0＜a＜时，f(x)有极大值－a(ln 2a－2)，极小值a－e；

2e

当a＝时，f(x)无极值；

2

e2

当a＞时，f(x)有极大值a－e，极小值－a(ln 2a－2).

2

求函数极值的一般步骤：①先求函数f(x)的定义域，再求函数f(x)的导函数；

②求f′(x)＝0的根；③判断在f′(x)＝0的根的左、右两侧f′(x)的符号，确定极值点；④求出具体极值．

已知函数极值求参数的值或范围

(1)已知f(x)＝x＋3ax＋bx＋a在x＝－1时有极值0，则a－b＝________.

3

2

2

2

a2?1?(2)若函数f(x)＝－x＋x＋1在区间?，3?上有极值点，则实数a的取值范围是32?2?

________．

?a＋3a－b－1＝0，??10?2

(1)－7 (2) ?2，? [(1)由题意得f′(x)＝3x＋6ax＋b，则?

3????b－6a＋3＝0，

2

x3

解得?

?a＝1，???b＝3

或?

?a＝2，???b＝9，

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