2014年六年级数学思维训练：不定方程

所以x必须是奇数， 而x=

所以x=23，此时y=8；

答：苏军参与战斗的有23个步兵师，9个航空兵师．

14．甲、乙两个小队的同学去植树．甲小队有一人植树12棵，其余每人都植树13棵；乙小队有一人植树8棵，其余每人都植树10棵，已知两小队植树棵数相等，且每小队植树的棵数都是四百多棵．问：甲、乙两小队共有多少人？

【分析】根据乙小队有一人植树8棵，其余每人都植树10棵，得出：10的倍数加8，末尾也就是所有树棵数个位数必须是8，再根据甲小队有一人植树12棵，其余每人都植树13棵，得出13的倍数末尾3的倍数加上12的末尾2必须是8，所以3的倍数必须是6，也就是只有2，12，22，32，42，…和13相乘末尾是6，

22×13+12=298，32×13+12=428，42×13+12=558，因为数棵数是四百多棵，所以树有428棵，从而可以解决问题．

【解答】解：因为10的倍数加8，末尾也就是所有树棵数个位数必须是8， 13的倍数末尾3的倍数加上12的末尾2必须是8，

所以3的倍数必须是6，也就是只有2，12，22，32，42，…和13相乘末尾是6， 22×13+12=298 32×13+12=428 42×13+12=558

因为数棵数是四百多棵，所以树有428棵，总人数有： （428﹣12）÷13+1+（428﹣8）÷10+1 =33+42+1 =76（人）

答：甲乙两小队一共有76人． 15．将一根长为380厘米的合金铝管截成若干根长为36厘米和24厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不计，问：剩余部分的管子最少是多少厘米？

【分析】此题可以用列表法进行计算并比较，从一种的第一根开始截起，另一种会得到相应的多少根，剩余多少厘米，如此类推，直到不能同时截取为止，从而得解． 【解答】解：如下表所示， 36厘米 1 根 2 根 3根 4根 5 根 6根 7根 8根 9根 24厘米 14 根 12根 11根 9 根 8根 6根 5根 3根 2根 20 8 20 8 20 8 20 8 剩余cm 8 所以长度为36厘米的铁丝最少截1根，最多截9根， 长度为24厘米的铁丝最少截1根，最多截14根， 剩余部分最少是8厘米；

答：剩余部分的管子最少是8厘米．

16．某次数学比赛，用两种不同的方式判分．一种是答对1题给5分，不答给2分，答错不给分；另一种是先给40分，答对1题给3分，不答不给分，答错扣1分，某考生两种判分方法均得71分，请问：这次比赛共考了多少道题？

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【分析】此题可以设出未知数，列出方程进行推理．可设答对a题，未答b题，答错c题，可得：

5a+2b=71①，40+3a﹣c=71②，由①②推出a的取值范围，并确定处a的值，从而推出b、c的值，解决问题．

【解答】解：设答对a题，未答b题，答错c题，可得： 5a+2b=71①， 40+3a﹣c=71②，

由①知，a是奇数，且a＜14； 由②知a＞12，所以a=13， 由此求得b=3，c=8，

故共有：13+3+8=24（题）． 答：这次比赛共考了24道

17．我国古代数学家张丘建在《算经》一书中提出了“百鸡问题”：鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一．百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？这个问题是说：每只公鸡价值5文钱，每只母鸡价值3文钱，每3只小鸡价值1文钱．要想用100文钱恰好买100只鸡，公鸡、母鸡和小鸡应该分别买多少只？

【分析】设公鸡有x只，母鸡有y只，小鸡有z只，根据条件建立三元一次不定方程组，求出其解就可以了．

【解答】解：设公鸡有x只，母鸡有y只，小鸡有z只，根据题意，得

，

整理得：7x+4y=100． x=

；

因为x≥0，y≥0，且都是自然数， 所以

≥0，

所以y≤25，100﹣4y是7的倍数，且三种鸡都有买， 所以100﹣4y=7，14，21， 所以共有3种情况：

①公鸡4只，母鸡18只，小鸡78只；②公鸡8只，母鸡11只，小鸡81只；③公鸡12只，母鸡4只，小鸡84只．

18．小李去文具店买圆珠笔、铅笔和钢笔，每种笔都只能整盒买，不能单买．钢笔4支一盒，每盒5元；圆珠笔6支一盒，每盒6元；铅笔10支一盒，每盒7元．小李总共花了97元，买了90支笔．请问：三种笔分别买了多少盒？

【分析】分别设出钢笔买了x盒，圆珠笔y盒，铅笔z盒，再根据总共花了97元，买了90支笔，列出方程解答．

【解答】解：设钢笔买了x盒，圆珠笔y盒，铅笔z盒 所以：5X+6Y+7Z=97 所以：4X+6Y+10Z=90 因为XYZ取整数

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则x=3，y=18，z=0或 x=12，y=3，z=2时成立．

若三种笔都要买的话，就只能是x=12，y=3，z=2； 答：钢笔买了12盒，圆珠笔3盒，钢笔2盒．

19．在新年联欢会上，某班组织了一场飞镖比赛．如图，飞镖的靶子分为三块区域，分别对应17分、11分和4分．每人可以扔若干次飞镖，脱靶不得分，投中靶子就可以得到相应的分数．试问：如果比赛规定恰好投中100分才能获奖，要想获奖至少需要投中几个飞镖？如果规定恰好投中120分才能获奖，要想获奖至少需要投中几个飞镖？

【分析】要想获奖至少需要投中的次数必须尽量投中17分和11分，然后利用整数的裂项与拆分，把100和120分两种情况讨论解答即可． 【解答】解：（1）100÷17=5…15， 所以，100=5×17+11+4，

可得：投中17分的5次，投中11分的1次，投中4分的1次； 要想获奖至少需要投中：5+1+1=7（次）；

所以，100=4×17+11×2+4×2+2没有能组成2分的区域， 所以，100=3×17+11×3+4×4，

可得：投中17分的3次，投中11分的3次，投中4分的4次， 要想获奖至少需要投中：3+4+3=10（次）； 继续拆分：100=17×2+11×6，

可得：投中17分的2次，投中11分的6次， 要想获奖至少需要投中：6+2=8（次）； 综合上述，至少需要7次．

答：要想获奖至少需要投中7个飞镖．

（2）120÷17=7…1，

所以，120=7×17+1，没有1分的区域，

所以，120=6×17+17+1=6×17+18，没有能组成18分的区域， 所以，120=5×17+17×2+1=5×17+35=5×17+4×6+11，

可得：投中17分的5次，投中11分的1次，投中4分的6次， 要想获奖至少需要投中：5+1+6=12（次）； 继续拆分：120=17×4+11×4+4×2，

可得：投中17分的4次，投中11分的4次，投中4分的2次， 要想获奖至少需要投中：4+4+2=10（次）；

120÷11=10…10，

所以，120=10×11+10，没有能组成10分的区域， 120=10×11+10=9×11+11+10=9×11+21=9×11+17+4；

可得：投中11分的9次，投中17分的1次，投中4分的1次，

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要想获奖至少需要投中：9+1+1=11（次）； 答：要想获奖至少需要投中10个飞镖．

20．阿奇到商店买糖，巧克力糖13元一包，奶糖17元一包，水果糖7.8元一包，酥糖10.4元一包，最后他共花了360元，且每种糖都买了．请问：阿奇共买了多少包奶糖？ 【分析】设购买巧克力糖a包，奶糖b包，水果糖c包，酥糖d包，则13a+17b+7.8c+10.4d=360，其中a、b、c、d均为自然数，且c、d为5的倍数；设c=5m，d=5n，则13a+17b+39m+52n=360，即13（a+b+3m+4n）+4b=360，然后根据等式，分析求出各种糖的数量即可． 【解答】解：设购买巧克力糖a包，奶糖b包，水果糖c包，酥糖d包， 则13a+17b+7.8c+10.4d=360，

其中a、b、c、d均为自然数，且c、d为5的倍数； 设c=5m，d=5n，

则13a+17b+39m+52n=360， 即13（a+b+3m+4n）+4b=360， 所以a+b+3m+4n=24，4b=48， 解得a=1，b=12，m=1，n=2， 即a=1，b=12，c=5，d=10，

所以巧克力糖1包，奶糖12包，水果糖5包，酥糖10包． 答：阿奇共买了12包奶糖．

21．小悦、冬冬去超市买水果．小悦买了2千克桔子、3千克苹果和4千克梨，共花了28.5元，冬冬买了3千克桔子、5千克苹果和7千克梨，共花了47.7元．结账的时候碰到老师，老师买了6千克桔子和3千克苹果，那么老师应该花了多少钱？ 【分析】根据小悦买了2千克桔子、3千克苹果和4千克梨，共花了28.5元，可得小悦买2×7千克桔子、3×7千克苹果和4×7千克梨，共花了28.5×7元；然后根据冬冬买了3千克桔子、5千克苹果和7千克梨，共花了47.7元，可得冬买3×4千克桔子、5×4千克苹果和7×4千克梨，一共花了47.7×4元；可得买2千克桔子和1千克苹果需要花的钱数，进而求出老师买了6千克桔子和3千克苹果，花了多少钱即可． 【解答】解：根据分析，可得

小悦买14千克桔子、21千克苹果和28千克梨，共花了28.5×7元， 冬冬买12千克桔子、20千克苹果和28千克梨，共花了47.7×4元，

买2千克桔子和1千克苹果需要的钱数： 28.5×7﹣47.7×4 =199.5﹣190.8 =8.7（元）

老师应该花的钱数： 8.7×（6÷2）=26.1（元） 答：老师应该花了26.1元．

22．红、蓝两种笔的单价都是整数元，并且红笔比蓝笔贵．小明买红笔、蓝笔各一支，共用了23元．小强打算用109元来买这两种笔（也允许只买其中一种），可是他无论怎么买，都不能把109元恰好用完．求红笔的单价．

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