整数

第一章 整数

如果a?b?c，那么a?(b?m)?c?m.

（由学生自己证明） ③ 如果被减数和减数都增加（或减少）同一个数，那么它们的差不变。就是： 如果a?b?c，那么(a?m)?(b?m)?c. 这个结论可以由差的变化规律①、②推得。 3、减法的运算法则

⑴ 一位数或两位数减去一位数且差是一位数的减法 这样的减法一般是根据减法定义，利用加法表来计算。 例如： 9?4，根据5?4?9，得出9?4?5；

12?3，根据9?3?12，得出12?3?9.

（2）多位数减法

多位数减法，可以先把被减数和减数分解成不同计数单位的数之和的形式，然后根据若干个数的和减去若干个数的和的运算性质，应用减法法则⑴来计算。

例如：356?138

??3百?5十?6???1百?3十?8?

??3百?4十?16???1百?3十?8? （减法性质5） ??3百?1百???4十?3十???16十?8? （减法法则⑴） ?2百?1十?8 ?218

由上面例子可以看出，多位数相减时，是分别把相同计数单位的数相减，哪一个计数单位上的数不够减，就从高一级的计数单位上的数退一再减。为了简便起见，通常写成竖式计算。上例写成竖式就是：

35`6?138 218多位数减法的运算法则也可以编成口诀：数位对齐、个位减起、退一化十。

三、加减法各部分之间的关系 根据加减法定义可以知道，在加法和减法运算中，各部分之间有如下的关系： 1、在加法中，一个加数等于和减去另一个加数。

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第一章 整数

就是：如果a?b?c，那么a?c?b；b?c?a.

2、在减法中，被减数等于减数加上差；减数等于被减数减去差。 就是：如果a?b?c，那么a?b?c；b?a?c.

应用以上关系，可以对加法和减法进行验算；还可以求加减法中的未知数。 ⑴ 验算加法的方法：

用加法验算。应用加法交换律，把两个加数交换位置，再加一次，如果两次计算结果 相同，原计算是正确的。

用减法验算。将所得的和中减去其中一个加数，如果得到另一个加数，原计算是正确的。

⑵ 验算减法的方法：

用加法验算。将所得的差与减数相加，如果得到被减数，原计算是正确的。 用减法验算。用被减数减去所得的差，如果得到减数，原计算是正确的。 相关知识链接

公元15世纪，德国数学家魏德曼首创加号“＋”、减号“－”。他把一条横线与一条竖线合并在一起来表示合并（增加）的意思，而从加号“＋”中去掉一竖，就表示拿去（减少）的意思。

四、整数乘法 1、乘法的定义

⑴ 定义 b（大于1的整数）个相同加数a的和c叫做a与b的积，就是：

b个???????c?a?a???a

求两个数的积的运算叫做乘法。记作：

a?b?c 或 a?b?c

读作“a乘b等于c”。数a和b叫做因数，也叫做乘数。符号“×”或“· ”叫做乘号，

a?b也可以简写为ab。

根据以上乘法定义，最小因数应该是2。但我们时常会遇到因数是1或者是0的情形，因此对乘法作如下补充定义：

① 当一个因数是1时，a?1?a； ② 当一个因数是0时，a?0?0； ③ 当两个因数都是0时，0?0?0.

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第一章 整数

由积的定义知道，a?b就是求b个相同加数a的和，因为整数集对加法运算是封闭的，并且和是唯一的，所以整数集对于乘法运算也是封闭的，并且积是唯一的。在特殊情况下，当b?0或b?1时，根据补充定义积也是唯一存在的。

⑵ 几个数的积

乘法定义可以推广到求几个数连乘的积。求几个数的积，就是先求第一个数与第二个数的积，再求所得积与第三个数的积，等等。

例如： abc?(ab)c；

abcd?[(ab)c]d.

在加减乘混合运算中，规定先算乘，再算加减。 例如： a?b?c?d?a?(b?c)?d ⑶ 乘方

求n个相同因数m的积的运算叫做乘方，记作：mn，读作m的n次方或n次幂。如：3?3?3?3?3?35叫做5的4次方或5的4次幂。 2、整数乘法的运算性质

⑴ 乘法交换律 两个数相乘，交换因数的位置，它们的积不变。就是： a?b?b?a.

证明：当a?1，b?1时，那么a可以表示成以下的形式：

???a个?? a?1?1???1

a?b可以表示为以下的形式：

??a?1?1???1b个??a?1?1???1

???????a?1?1???1

ab?b?????b??????ba个 ∵ b????b???????b?ba a个 ∴ a?b?b?a

所以，当a?1，b?1时，交换律成立。根据乘法定义和补充定义，可以得到： 当a与b有一个是1，或者都是1时， ①a?1时，1?b?b，b?1?b；

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②b?1时，a?1?a，1?a?a； ③a?b?1时，a?b?1，b?a?1. 当a与b有一个是0，或者都是0时，

a?b?0，b?a?0.

因此，交换律对于a、b是任何整数都成立。

⑵ 乘法结合律 三个数相乘，先把前两个数相乘，再与第三个数相乘，或者先把后两个数相乘，再与第一个数相乘，它们的积不变。就是：

(ab)c?a(bc).

证明：当a?1，c?1时，由交换律ab?ba，(ab)c可以表示为如下形式：

a个???????ba?b?b???b ba?b?b???b??ba?b?b???b?????c行 ????等号左边是c个ba，即c个ab，它们的和就是(ab)c。

等号右边每一列有c个b，每一列的和是bc，共有a列，它们的和就是：

?bc????bc?(bc)a?a(bc) bc??????a个因此有 (ab)c?a(bc) 又根据乘法定义和补充定义可得： 当a与c有一个是1，或者都是1时， ①a?1时，(ab)c?bc，a(bc)?bc； ②c?1时，(ab)c?ab，a(bc)?ab； ③a?c?1时，(ab)c?b，a(bc)?b. 当a与c有一个是0，或者都是0时， (ab)c?0，a(bc)?0.

因此，结合律对于a、b、c是任何整数都成立。

⑶ 乘法分配律 两个数的和与一个数相乘的积，等于每一个加数分别与这个数相乘，再把所得的积加起来。就是：

(a?b)c?ac?bc 或 c(a?b)?ca?cb.

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