整数

第一章 整数

9、先说出下面的数是几位数，最高位是什么位，再读出来。 ⑴ 4357160， 900005001， 189404000， 1080000104；

⑵ 43 813 456， 8 400 573 000， 756 004 080； ⑶ 一个正常人的头发大约有80 000到100 000根不等； ⑷ 一个人的血管总长约 40000 000米；

⑸ 2010年第六次全国人口普查知我国总人口为1339724852人； ⑹ 光传播的速度是每秒种299800千米。

10、用2个3，2个0写出三个不同的四位数，一个零都不读的是（ ），只读一个零的是（ ）和（ ）。 11、计数和记数有什么不同？

12、用阿拉伯数字写出的数，读的时候要注意哪些问题？

第二节 整数的四则运算

一、整数加法 1、加法的定义

⑴ 定义 设A、B是两个不相交的有限集合，它们的基数分别是数a和b，如果集合A与B的并集是C，那么并集C的基数c就叫做a与b的和，求两个数的和的运算叫做加法，记做

a?b?c

读作“a加b等于c”。a与b都叫做加数，符号“＋”叫做加号。

因为，A???A，??A?A（A是非空集合），?????，所以当加数是零时， a?0?0， 0?a?a， 0?0?0. 相关知识链接 加法意义的其他形式

因为自然数从意义上有基数和序数之分，因此加法的意义还可以理解为：

因为并集C是由而且只是由集合A与B的所有元素组成的，所以要求a与b的和c，可以直接数出集合C的所有元素的个数.

由于数数是永远可以进行的，并且数数的结果是唯一的，所以整数加法总可以施行，即整数集对于加法运算是封闭的，并且和是唯一的。

9

第一章 整数

⑵ 加法定义的推论

两个数的和不小于每一个加数。就是：

a?b?a， a?b?b （“?”表示大小或等于，也就是不小于） ∵ A?B?A， A?B?B ∴ a?b?a， a?b?b. ⑶ 几个数的和

因为并集的概念可以推广到求几个集合的并，所以加法定义可以推广到求几个数的和。求几个数的和，就是先求出第一个数与第二个数的和，再求所得的和与第三个数的和，等等。

例如： a?b?c?(a?b)?c， a?b?c?d?[(a?b)?c]?d.

根据和的定义的推广，可以把任意一个多位数写成不同计数单位数之和的形式。 例如：因为582是由五个百、八个十、二个一合并成的，所以582?5百?8十?2 也可以写作：582?4百?18十?2?4百?17十?12，等等。

2、加法的运算性质

⑴ 加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。就是： a?b?b?a.

证明：设a与b分别是不相交的有限集合A与B的基数， ∵ A?B?B?A，

∴ a?b?b?a.

⑵ 加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数，或者先把后两个数相加，再加上第一个数，它们的和不变。就是：

(a?b)?c?a?(b?c).

证明：设a、b、c分别是互不相交的有限集合A、B、C的基数， ∵ (A?B)?C?A?(B?C)，

∴ (a?b)?c?a?(b?c).

⑶ 加法交换律和结合律的推广 若干个数相加，任意交换加数的位置，或者先把其中任意几个加数作为一组先加起来，再与其他加数相加，它们的和不变。

这个性质可以用数学归纳法证明，由于证明过程较繁，在这里省略不证。下面是对简

10

第一章 整数

单的情况用演绎法证明如下：

例 试证 a?b?c?d?b?[(c?a)?d] 证明： a?b?c?d

?[(a?b)?c]?d （求几个数和的运算顺序） ?[a?(b?c)]?d （加法结合律） ?[(b?c)?a]?d （加法交换律） ?[b?(c?a)]?d （加法结合律） ?b?[(c?a)?d] （加法结合律）

⑷ 加法运算定律的推广 若干个数的和加上若干个数的和，可以把第一个和中的各个加数分别加上第二个和中的一个加数，再把所得的和加起来。就是：

如果ai、bi是整数（i?1,2,3,?n;ai,bi），

那么 ?a1?a2?a3???an???b1?b2?b3???bn?

??a1?b1???a2?b2?????an?bn?.

⑸ 和的变化规律

① 如果一个加数增加（或减少）一个数，另一个加数不变，那么它们的和也增加（或减少）同一个数。就是：

如果a?b?c，那么(a?m)?b?c?m. 证明：(a?m)?b

?a?(m?b) （加法结合律） ?a?(b?m) （加法交换律） ?(a?b)?m （加法结合律） ?c?m （已知条件） （另一种情况学生自己证明）

② 如果一个加数增加一个数，另一个加数减少同一个数，那么它们的和不变。就是： 如果a?b?c，那么(a?m)?(b?m)?c. 这个结论可以由和的变化规律⑴直接推得。 3、加法的运算法则 ⑴ 一位数的加法

两个一位数相加，可以用数数的方法求出和。通常是把两个一位数相加的结果编成加

11

第一章 整数

法表（20以内的加法），在计算时直接使用这些结果。 ⑵ 多位数的加法

多位数加上多位数，可以先把它们分别写成不同计数单位数之和的形式，再应用加法运算定律的推广及一位数加法表，分别把相同计数单位的数加起来。

例如：256?127

??2百?5十?6???1百?2十?7?

??2百?1百???5十?2十???6?7? （加法结合律的推广） ??2百?1百???5十?2十???1十?3? （20以内的加法表） ??2百?1百???5十?2十?1十??3 （加法结合律的推广）

?3百?8十?3 （20以内的加法表）

?383

由上面的例子可以看出，多位数相加时，是分别把相同计数单位的数相加，哪一个计数单位上的数满十，就向高一级的计数单位进一，为了简便起见，通常采用竖式计算，上例列出竖式就是：

256?12、7 383多位数相加的运算法则可以归纳为口诀：数位对齐、个位加起、满十进一。

二、整数减法

1、减法的定义

⑴ 定义 已知两个数a、b，求一个数c，使c与b的和等于a，这种运算叫做减法。记作： a?b?c

读作“a减b等于c”。a叫做被减数，b叫做减数，c叫做a与b的差，符号“－”叫做减号。

从集合的观点看，减法是这样的一种运算：

设A是一个有限集合（基数是a）,B是A的一个子集（基数是b），从集合A中取出集合B的所有元素以后，得到集合C（基数是c）是A与B的差集，即C?A\\B。因此，已知a与b，求它们的差c的运算，就是求集合A与B

A C 12

B