江苏省金陵中学丹阳高级中学无锡一中2020届高三下学期期初联考数学试题(带附加题)附答案

所以BD∥EF．………………3分

因为BD?平面ABD，EF?平面ABD，所以EF∥平面ABD．………………6分 （2）因为AE⊥平面BCD，CD?平面BCD， 所以AE⊥CD．………………8分

因为BD⊥CD，BD∥EF，所以CD⊥EF，………………10分

又AE∩EF＝E，AE?平面AEF，EF?平面AEF，所以CD⊥平面AEF．………………12分 又CD?平面ACD，所以平面AEF⊥平面ACD．………………14分 16．（本小题满分14分）

4

在△ABC中，内角A，B， C所对的边分别为a，b，c，cosB＝．

5sinB

（1）若c＝2a，求的值；

sinCπ

（2）若C－B＝，求sinA的值．

4

【点评】本题考查正弦定理与余弦定理，三角函数的相关运算，中等题。注意考生的答题规范。 【答案】 解：（1）解法1：

a2＋c2－b244

在△ABC中，因为cosB＝，所以＝．………………2分

52ac5

c

()2＋c2－b224b29b35因为c＝2a，所以＝，即2＝，所以＝．………………4分

c5c20c102c×2又由正弦定理得解法2：

43

因为cosB＝，B∈(0，π)，所以sinB＝1－cos2B＝．………………2分

55因为c＝2a，由正弦定理得sinC＝2sinA，

68

所以sinC＝2sin(B＋C)＝cosC＋sinC，即－sinC＝2cosC．………………4分

5525

又因为sin2C＋cos2C＝1，sinC＞0，解得sinC＝，

5sinB35所以＝．………………6分

sinC10

sinBbsinB35

＝，所以＝．………………6分 sinCcsinC10

47

（2）因为cosB＝，所以cos2B＝2cos2B－1＝．………………8分

5253

又0＜B＜π，所以sinB＝1－cos2B＝，

5

3424

所以sin2B＝2sinBcosB＝2××＝．………………10分

5525ππ3π

因为C－B＝，即C＝B＋，所以A＝π－(B＋C)＝－2B，

444

3π3π3π312

所以sinA＝sin(－2B)＝sincos2B－cossin2B＝．………………14分

4445017．（本小题满分14分）

如图，某城市有一块半径为40 m的半圆形绿化区域（以O为圆心，AB为直径），现计划对其进行改建．在AB的延长线上取点D，OD＝80 m，在半圆上选定一点C，改建后的绿化区域由扇形区域AOC和三角形区域COD组成，其面积为S m2．设∠AOC＝x rad． （1）写出S关于x的函数关系式S(x)，并指出x的取值范围； （2）试问∠AOC多大时，改建后的绿化区域面积S取得最大值．

【点评】应用题，以三角函数为基底进行考查，中等题。此题源自南京市零模，难度不大。在高考中，预测应用题也会以三角函数为基底进行考查，关注导数或不等式。 【答案】

解：（1）因为扇形 AOC的半径为 40 m，∠AOC＝x rad，

x·OA2

所以扇形AOC的面积S扇形AOC＝＝800x，0＜x＜π．………………2分

2在△COD中，OD＝80，OC＝40，∠COD＝π－x，

1

所以S△COD＝·OC·OD·sin∠COD＝1600sin(π－x)＝1600sinx．………………4分

2从而 S＝S△COD＋S扇形AOC＝1600sinx＋800x，0＜x＜π．………………6分 （2）由（1）知， S(x)＝1600sinx＋800x，0＜x＜π． 1

S′(x)＝1600cosx＋800＝1600(cosx＋)．………………8分

22π

由 S′(x)＝0，解得x＝．

3

2π2π

从而当0＜x＜时，S′(x)＞0；当＜x＜π时，S′(x)＜0 ．

33

A

O B D

C （第17题）

2π2π

因此 S(x)在区间(0，)上单调递增；在区间(，π)上单调递减．………………11分

332π

所以 当x＝，S(x)取得最大值．

3

2π

答：当∠AOC为时，改建后的绿化区域面积S最大．………………14分

318．（本小题满分16分）

x2y22

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：2＋2＝1(a＞b＞0)过点1， 6，其离心率等于．

ab22??（1）求椭圆E的标准方程；

（2）若A，B分别是椭圆E的左，右顶点，动点M满足MB⊥AB，且MA交椭圆E于点P．

uuuruuuur①求证：OP?OM为定值；

②设PB与以PM为直径的圆的另一交点为Q，求证：直线MQ经过定点．

【点评】本题考查解析几何，关注向量的运算，在二模中属于热度题，中等题。定点定值题，一定要算到底，注意方法优化，本题应注意一题多解。 【答案】

3??1?2?1， ?a2?4， ??22222b解：（1）由题得?a且c?a?b，解得?2

b?2， ??c?2，? ?a2?x2y2所以椭圆E的方程为+=1．………………4分

42 y0)，P(x1， y1)， （2）设M(2，y022y02y02y0y0x?①直线MA的方程为y?，代入椭圆得1?x?x??4?0， 42822??由?2x1?4?y02?8?y02?8得x1??2?y02?8?y02?8，y1?8y0，………………8分 y02?8uuuruuuur??2?y02?8?8y0??4?y02?8?8y02所以OP?OM??， 2 y0)??2?4．……………10分 ??(2，22y?8y?8y?8y?8??0000②直线MQ过定点O(0， 0)，理由如下：

由题得kPB??2?y0?8?28y0y02?8

y02?8?2??2，………………12分

y0由MQ?PB得kMQ?y0， 2y0y(x?2)，即y?0x，………………14分 22则MQ的方程为y?y0?所以直线MQ过定点O(0， 0)．………………16分 19．（本小题满分16分）

已知函数f(x)＝ax2＋lnx，g(x)＝－bx，设h(x)＝f(x)－g(x)．

12

（1）若f(x)在x＝2

2处取得极值，且f ′(1)＝g(－1)－2，求函数h(x)的单调区间；

（2）若a＝0时，函数h(x)有两个不同的零点x1，x2． ①求b的取值范围； ②求证：x1·x2>e2．

【点评】本题考查函数与导数，中等题。零点问题注意零点存在定理的使用，如不使用得分会较低。第三问考查点较为基础，在教学过程中教师应注意这类题的证法。在高考中，不会再出现这样的陈题、旧题，但这样的方法与思想应该牢牢把握。 【答案】

解：（1）因为f?(x)?ax?1，所以f?(1)?a?1，由f?(1)?g(?1)?2可得a?b?3． x又因为f(x)在x?222处取得极值，所以f?()?a?2?0， 222所以a??2,b?1．………………2分

1?2x2?x?1?(2x?1)(x?1)所以h(x)??x?lnx?x，其定义域为(0,??)．h?(x)??2x??1=， ?xxx21令h?(x)?0得x1??,x2?1，当x?(0,1)时，h?(x)>0，当x?(1,??)时，h?(x)<0，

2