江苏省金陵中学丹阳高级中学无锡一中2020届高三下学期期初联考数学试题(带附加题)附答案

2020届高三年级第二学期期初联考试卷

数学试题

命题单位：丹阳高级中学 审核单位：金陵中学 无锡一中

Ⅱ试题

21．【选做题】在A、B、C三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．选修4—2：矩阵与变换

? 3 0?

设a，b∈R．若直线l：ax＋y－7＝0在矩阵A= ?? 对应的变换作用下，得到的直线为l′：9x＋y

?－1 b?

－91＝0．求实数a，b的值．

B．选修4—4：坐标系与参数方程

3x＝1＋t，?x＝4k2，5

在平面直角坐标系xOy中，直线l：(t为参数)，与曲线C：?(k为参数)交于A，B

4?y＝4ky＝t5

???

两点，求线段AB的长．

C．选修4—5：不等式选讲

11

已知x，y∈R，且|x＋y|≤，|x－y|≤，求证：|x＋5y|≤1．

64

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）

某中学有4位学生申请A，B，C三所大学的自主招生．若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的．

（1）求恰有2人申请A大学的概率；

（2）求被申请大学的个数X的概率分布列与数学期望E(X)．

23．（本小题满分10分）

已知?1?x?2n?1?a0?a1x?a2x?…?a2n?1x22n?1，n?N．记Tn?*??2k?1?ak?0nn?k．

（1）求T2的值；

（2）化简Tn的表达式，并证明：对任意的n?N*，Tn都能被4n?2整除．

期初联考试卷 数学试题参考答案及评分标准

Ⅰ试题

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）

1．{1，2，3，4} 2．－1 3．(1，＋∞) 4．8 5．(4，±4)

4

6．[5，7] 7．127 8．－2 9．3：2 10．3

11．－3 12．4 13．9 14．[－1，1]

二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本小题满分14分）

解：（1）因为BD∥平面AEF，BD?平面BCD，平面AEF∩平面BCD＝EF， 所以BD∥EF．………………3分

因为BD?平面ABD，EF?平面ABD，所以EF∥平面ABD．………………6分 （2）因为AE⊥平面BCD，CD?平面BCD， 所以AE⊥CD．………………8分

因为BD⊥CD，BD∥EF，所以CD⊥EF，………………10分

又AE∩EF＝E，AE?平面AEF，EF?平面AEF，所以CD⊥平面AEF．………………12分 又CD?平面ACD，所以平面AEF⊥平面ACD．………………14分 16．（本小题满分14分） 解：（1）解法1：

a2＋c2－b244

在△ABC中，因为cosB＝，所以＝．………………2分

52ac5

c

()2＋c2－b224b29b35因为c＝2a，所以＝，即2＝，所以＝．………………4分

c5c20c102c×2又由正弦定理得

sinBbsinB35

＝，所以＝．………………6分 sinCcsinC10

解法2：

43

因为cosB＝，B∈(0，π)，所以sinB＝1－cos2B＝．………………2分

55因为c＝2a，由正弦定理得sinC＝2sinA，

68

所以sinC＝2sin(B＋C)＝cosC＋sinC，即－sinC＝2cosC．………………4分

5525又因为sin2C＋cos2C＝1，sinC＞0，解得sinC＝，

5sinB35所以＝．………………6分

sinC10

47

（2）因为cosB＝，所以cos2B＝2cos2B－1＝．………………8分

5253

又0＜B＜π，所以sinB＝1－cos2B＝，

5

3424

所以sin2B＝2sinBcosB＝2××＝．………………10分

5525ππ3π

因为C－B＝，即C＝B＋，所以A＝π－(B＋C)＝－2B，

444

3π3π3π312

所以sinA＝sin(－2B)＝sincos2B－cossin2B＝．………………14分

4445017．（本小题满分14分）

解：（1）因为扇形 AOC的半径为 40 m，∠AOC＝x rad，

x·OA2

所以扇形AOC的面积S扇形AOC＝＝800x，0＜x＜π．………………2分

2在△COD中，OD＝80，OC＝40，∠COD＝π－x，

1

所以S△COD＝·OC·OD·sin∠COD＝1600sin(π－x)＝1600sinx．………………4分

2从而 S＝S△COD＋S扇形AOC＝1600sinx＋800x，0＜x＜π．………………6分 （2）由（1）知， S(x)＝1600sinx＋800x，0＜x＜π． 1

S′(x)＝1600cosx＋800＝1600(cosx＋)．………………8分

22π

由 S′(x)＝0，解得x＝．

3

2π2π

从而当0＜x＜时，S′(x)＞0；当＜x＜π时，S′(x)＜0 ．

33

2π2π

因此 S(x)在区间(0，)上单调递增；在区间(，π)上单调递减．………………11分

33