江苏省金陵中学丹阳高级中学无锡一中2020届高三下学期期初联考数学试题(带附加题)附答案

2020届高三年级第二学期期初联考试卷

数学试题

Ⅰ试题

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）

1．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4}，则A∪B＝ ▲ ．

2．已知复数z1＝－2＋i，z2＝a＋2i（i为虚数单位，a∈R），若z1z2为纯虚数，则实数a的值为 ▲ ． 3．函数f(x)＝ln(x－1)的定义域为 ▲ ．

4．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为12，x，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则x的值为 ▲ ．

5．已知抛物线y2＝4x上一点的距离到焦点的距离为5，则这点的坐标为 ▲ ．

6．已知命题p：－10，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 ▲ ．

7．等比数列{an}的前n项和为Sn，若4a1，2a2，a3成等差数列，a1＝1，则S7＝ ▲ ． 8．函数f(x)是在R上的周期为3的奇函数，当0

9．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，记圆柱、球的表面积分别为S1、S2，则S1：S2＝ ▲ ． 10．在等腰△ABC中，已知底边BC＝2，点D为边AC的中点，点E为边AB上一点且满足EB＝2AE，若BD·AC

→→

1

→AB→＝ ▲ ．

＝－2，则EC·

11．已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b（a，b∈R）的值域为(－∞，0]，若关于x的不等式f(x)>c－1的解集为(m－

4，m)，则实数c的值为 ▲ ．

12．在锐角△ABC中，已知sinC＝4cosAcosB，则tanAtanB的最大值为 ▲ ．

13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，

且BD＝1，则4a＋c的最小值为 ▲ ．

14．设函数f(x)＝ax＋sinx＋cosx．若函数f(x)的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线y＝f(x)在点A，B

处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为 ▲ ．

二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本小题满分14分）

如图，在三棱锥A－BCD中，E，F分别为棱BC，CD上的点，且BD∥平面AEF． （1）求证：EF∥平面ABD；

（2）若BD⊥CD，AE⊥平面BCD，求证：平面AEF⊥平面ACD．

A

B

E

（第15题） D F

C

16．（本小题满分14分）

4

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosB＝．

5sinB

（1）若c＝2a，求的值；

sinCπ

（2）若C－B＝，求sinA的值．

4

17．（本小题满分14分）

如图，某城市有一块半径为40 m的半圆形绿化区域（以O为圆心，AB为直径），现计划对其进行改建．在AB的延长线上取点D，OD＝80 m，在半圆上选定一点C，改建后的绿化区域由扇形区域AOC和三角形区域COD组成，其面积为S m2．设∠AOC＝x rad． （1）写出S关于x的函数关系式S(x)，并指出x的取值范围；

（2）试问∠AOC多大时，改建后的绿化区域面积S取得最大值．

18．（本小题满分16分）

A

O B D

（第17题） C x2y22

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：2＋2＝1(a＞b＞0)过点1， 6，其离心率等于．

ab22??（1）求椭圆E的标准方程；

（2）若A，B分别是椭圆E的左，右顶点，动点M满足MB⊥AB，且MA交椭圆E于点P．

uuuruuuur①求证：OP?OM为定值；

②设PB与以PM为直径的圆的另一交点为Q，求证：直线MQ经过定点．

19．（本小题满分16分）

已知函数f(x)＝ax2＋lnx，g(x)＝－bx，设h(x)＝f(x)－g(x)．

1

2

（1）若f(x)在x＝2

2处取得极值，且f ′(1)＝g(－1)－2，求函数h(x)的单调区间；

（2）若a＝0时，函数h(x)有两个不同的零点x1，x2． ①求b的取值范围； ②求证：x1·x2>e2．

20．（本小题满分16分）

已知数列{an}前n项和为Sn，数列{an}的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列，且满足S5＝2a4＋a5，a9＝a3＋a4．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若amam＋1＝am＋2，求正整数m的值； （3）是否存在正整数m，使得若不存在，说明理由．

S2m恰好为数列{an}中的一项？若存在，求出所有满足条件的m值，S2m?1