客观、合理评价学生学习状况的数学模型

客观、合理评价学生学习状况的数学模型

摘 要

目前对学生学习状况的评价相对比较主观，以测试成绩的高低来评价学生的学习优劣。这种评价方式单一，忽略了不通基础水平同学的进步程度以及测试本身的局限性，为了更好鼓励基础相对较差的学生努力学习，我们需要建立一个客观、更合理的评价学生学习状况的数学模型。通过以上考虑，本文试图通过回答以下几个问题来达到目的： 问题一：通过分析题目所给的612名学生的整体成绩情况，其中包括每个学期整体的平均成绩、及格率、最高分、最低分、方差、标准差等多项指标有关，通过所给数据，得到图表。整体情况为：及格率均在90%以上，并逐年增长，平均分在70分以上，整体成绩良好。

问题二：为了体现学生成绩进步在整体评价中的作用，采用学生每个学期的成绩和进步情况作为指标, 我们采用了两种方法：

模糊层次分析法：考虑到每次考试的难易度不同先通过分数转换将学生的成绩转换成“标准分”，且进步度=进步率×学生的成绩平均分。通过糊层次分析方法得出最后求出各个因素的权重向量为：W'?(0.0900,0.0967,0.1033,0.1030,0.1800,0.1800,0.2400)，再利用模糊层次分析方法得出学生i学习状况的综合评定指标如下：

Ci?k1?x1i?k2?x2i?k3?x3i?k4?x4i?k5?x5i?k6?x6i?k7?x7i

灰色关联分析法：利用标准分和由黑尔指数法求得的进步分数进行评价。根据灰色关联度分析法得到各指标的关联度，又由于灰色关联分析法是等权划分，不能显示出各指标的重要性差异，所以我们运用模糊层次分析法中得到的权重。由此可以得到较为客观的综合评价模型：总和评价结果=各个指标的权重与取值的乘积之和。

问题三： 根据不同的评价方法预测这些学生后两个学期的学习情况：

多元线性回归预测模型：只考虑原先度考试成绩对后来考试成绩的影响。利用matlab中的regress函数得到第四个学期成绩与第三个学期的关系，发现第四个学期的成绩受三个学期的成绩的影响是比较大的，因此可以得到第五个学期与第六个学期的成绩

分析对一些进行结果分析，再对于一些成绩浮动过大或是缺考的学生可以剔除再计算进行比较。

灰色预测模型：利用matlab编辑预测函数

u??ak?0axi(k?1)=xi(k?1)?xi(k)=?xi(1)??e(1?e)算出第i个学生第j学期的预测成绩。再

a???0?1?1利用这个函数来分别算出已知学期学生的成绩与原始的数据进行残差检验，分别求出他

们的绝对误差与相对误差判断得知该模型型建立是合理、客观和全面的。预测结果如下：

序号 5 6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 77.560 77.69 75.51 77.83 81.51 78.51 59.64 18.19 70.96 72.33 78.685 78.41 81.15 76.68 81.60 82.43 55.72 12.06 69.64 72.66

关键字：黑尔指数转换法 模糊层次分析 多元线性回归预测 分数转换标准分灰色关联分析 权重

一． 问题重述

学生的学习状况是体现学生的学习能力和评价学校教学质量的一个重要指标。然而传统的评价方式单纯根据“绝对分数”评价学生的学习状况，忽略了学生基础条件的差异以及学生的进步程度，所以单纯的通过测试成绩来评价学生的学习状况是不合理的。

故而，建立合理的数学模型来解决这类问题是势在必行的。 在本题中，我们需要解决的问题有以下三个：

1.根据附件数据，对附件中给出的612名学生的整体情况进行分析说明；

2.根据附件数据，采用两种及以上方法，全面、客观、合理的评价这些学生的学习状况；

3.根据不同的评价方法，预测这些学生后两个学期的学习情况。

二．问题分析

? 问题一：根据统计学知识，我们认为这612名学生的整体情况应该包括每个学期整

体的平均成绩、最高分、最低分、极差、中位数、方差、标准差、偏度等多项指标。通过附表所给的数据进行统计整理，我们可以得到各学期的相关指标，并对其分布进行正态性检验，通过各项指标的对比还可以对四个学期成绩分布之间的相关性进行研究。我们也可由此对学生的整体情况进行全面、直观、科学的说明。

? 问题二：我们认为评价一个学生的学习状况可以有多方面的因素，诸如学习环境、

学习基础、考试难度、进步状况等。但是由于附件中只给出了612名学生连续四个学期的综合成绩，如果从多个因素着手就会脱离客观现实，具有不可操作性，因此，我们只能着眼于学生的学习综合成绩和进步状况。本题所用的两种模型就只针对这两类因素展开，层次分析图如下：

目标层： 学生学习情况综合评价A

准则层： 学生实际成绩B1 学生成绩进步情况B2

指标层： 第 第 第 第 第 第 第 一 二 三 四 二 三 四 学 学 学 学 学 学 学 期 期 期 期 期 期 期 成 成 成 成 进 进 进 绩 绩 绩 绩 步 步 步 度 度 度 c1 c2 c3 c4 c5 c6 c7

对于该问题我们采两个不同的模型进行：

模型一：我们考虑到的是成绩与进步度的影响因素，由于每学期的难易度不同，我们可以将其转换成“标准分”，这样既降低了这方面的误差，又排除了不同基础水平的同学进步情况受影响的因素，可以令进步度=进步率×学生的成绩平均分。接着就可以根据模糊层次分析的原理进行建模与求解。

模型二：灰色关联分析法是一种多因素统计分析方法，对信息不精确、不完全确定的小样本系统有明显的分析优势。其核心是关联度的计算，但如果没有考虑各指标重要性差异和允许指标属性之间相互线性补偿，将导致信息的流失，并且产生较大的误差。运用模糊层次法能够对每个评价指标的重要程度予以充分的考虑和保证，客观地揭示各评价指标的重要性。因此，评价过程可以运用模糊层次分析法来确定评价指标的权重，建立基于灰色关联度的灰色综合评价模型。

? 问题三：观察数据我们可以想到的是基本的统计回归接着进行运算即可，接着再进

行相应的残差分析，判断数据的可行性而模糊预测模型通过对原始数据的生成处理来寻求系统变动的规律。生成数据序列有较强的规律性，可以用它来建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来的发展趋势和未来状态。

三． 模型的假设及符号说明

3.1.模型的假设

1.假设每个学期的总和成绩的满分为100分； 2.假设每个学期的学生人数不会变动；

3.假设每位学生所处的学习考试环境相同；

4.假设附件数据中的两个零是由特殊情况所致； 5.每位学生的学习能力基本保持不变；

6.以后两个学期记分方式与前面四个学期记分方式相同。 3.2.符号说明 i 第i个学生, i?1,2?612 第j个指标, j?1,2,?7 第i名学生针对第j个指标的原始数据 第i名学生的相对重要程度函数值 Zi与Z1在第k点的关联系数; j xij Zi yi(k)Sij 第i名学生针对第j个指标标准化后的数据; 分辨系数 ? xj 第j个学期学生的总体平均分 分别是每个学期的学生总体与标准差j=1,2,3,4 sj rij Ci sij 下层第i个元素相对于第j个元素的模糊关系 第i个学生的评价分 第i个学生第j个学期的标准分,j=1,2,3,4 第i个学生四个学期的平均分 第i个学生第j个学期的进步度；j=2,3,4 第i个因素的指标。i-1,2,3,4,5,6,7. 各个学期名次为k的平均分 准则层对目标层的权值 指标层对准则层的权值 si cij ki mk w0 w12,w11

四． 模型的建立与求解

4.1.对学生整体成绩进行分析

利用附件中所给的数据进行统计，得到了学生成绩总体分布的情况如图所示。数据处理时把成绩分为四个等级，80分及以上的为优秀，70分到80分之间的为良好，60分到70分之间的为合格，小于60分的为不及格。

四个学期学生成绩分布情况350300250人数20015010050012学期34优秀人数良好合格不及格

从上述处理结果可以看出，四个学期的学习成绩良好及以上同学居多，且不及格人数逐年减少。

运用Excel对统计后的数据进一步分析与计算得到的表格如下： 平均分 72.88555681 74.85333673 73.76263004 75.93762224