2021新高考数学(江苏专用)一轮复习课时练习：4.5.2 简单的三角恒等变换 (含解析)

12．已知0<α<π2<β<π，cos??β－π4??＝13，sin(α＋β)＝45. (1)求sin 2β的值； (2)求cos??α＋π

4??的值． 解 (1)方法一 因为cos?π?β－4??＝cos π4cos β＋sin π4·sin β＝22cos β＋21

2sin β＝3， 所以cos β＋sin β＝

23

， 所以1＋sin 2β＝27

9，所以sin 2β＝－9

.

方法二 sin 2β＝cos?π?2－2β??＝2cos2??β－π7

4??－1＝－9. (2)因为0<α<π

2<β<π，

所以π4<β－π3π3π4<4π，2<α＋β<2.

所以sin??β－π

4??>0，cos(α＋β)<0， 因为cos??β－π4??＝13，sin(α＋β)＝45， 所以sin??β－π4??＝2233，cos(α＋β)＝－5. 所以cos??α＋π4??＝cos???α＋β?－?π?β－4???? ＝cos(α＋β)cos??β－π4??＋sin(α＋β)sin?π

?β－4?? ＝－3142282－5×3＋5×3＝3

15

.

13．(2019·福建省百校联考)若α∈(0，π)，且3sin α＋2cos α＝2，则tan α2等于( A.332

B.4

C.233 D.433

答案 A

解析 由已知得cos α＝1－

3

2

sin α. 代入sin2α＋cos2α＝1，得sin2α＋?3?

1－

2sin α??

2＝1， )

743整理得sin2α－3sin α＝0，解得sin α＝0或sin α＝.

47因为α∈(0，π)，所以sin α＝

433431

，故cos α＝1－×＝. 7277

437αsin α3

所以tan ＝＝＝.

21＋cos α12

1＋

714．定义运算?π答案 3

33ππ

解析 由题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝，又0<β<α<，∴0<α－β<，

142213

故cos(α－β)＝1－sin2?α－β?＝，

14143

又cos α＝，∴sin α＝，

77于是sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝

43131333×－×＝. 7147142

?a

?c 1?sin α sin β?33π

＝ad－bc.若cos α＝，?＝，0<β<α<，则β＝______. ??7?cos α cos β?142d?

b?

ππ

又0<β<，故β＝. 23

π3π??0，π?，?π－α?＝3，?5π＋β?＝－12，，，15．已知α∈?β∈且cossin则cos(α＋β)＝________. ?44??4??4?5?4?1333

答案 －

65

π3π?ππ

，，∴－α∈?－，0?， 解析 ∵α∈??44??2?4ππ34－α?＝，∴sin?－α?＝－， 又cos??4?5?4?55π?π1212＋β＝－，∴sin?＋β?＝， ∵sin??4??4?1313ππππ0，?，＋β∈?，?， 又∵β∈??4?4?42?π?5

∴cos??4＋β?＝13，

?π＋β?－?π－α?? ∴cos(α＋β)＝cos???4??4??

π??π?ππ

＋βcos－α＋sin?＋β?sin?－α? ＝cos??4??4??4??4?5312433

＝×－×＝－. 13513565

π5α116．(2019·江苏泰州中学模拟)已知0<α<<β<π，且sin(α＋β)＝，tan ＝. 21322(1)求cos α的值； 5

(2)证明：sin β>.

13α1

(1)解 ∵tan ＝，

22

12×

24

∴tan α＝＝＝.

α?1?231－tan21－2?2?

sin α4??cos α＝3，π3

0，?，解得cos α＝. ∴?又α∈??2?522??sinα＋cosα＝1.π3π

(2)证明 由已知得<α＋β<. 22512

∵sin(α＋β)＝，∴cos(α＋β)＝－. 13134

由(1)可得sin α＝，

5

12463553

－?×＝>. ∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝×－?135?13?56513

α

2tan

2