2021新高考数学（江苏专用）一轮复习课时练习：4.5.2 简单的三角恒等变换（含解析）

1．计算：1－cos210°

cos 80°1－cos 20°等于( )

A.22 B.1322 C.2 D．－2

答案 A

解析 1－cos210°

sin210°cos 80°1－cos 20°＝sin 10°1－?1－2sin210°?sin2＝10°2sin210°＝22

. 2．若sin?π?3－α??＝14，则cos?π

?3＋2α?? 等于( ) A．－78 B．－14 C.17

4 D.8

答案 A

解析 cos?π?3＋2α??＝cos??π－?2

?3π－2α???? ＝－cos?2?3π－2α??＝－?π

?1－2sin2??3－α????

＝－??1－2×?1?4??2??＝－78

. 3．已知cos?π?4－x??＝3

5，则sin 2x等于( ) A.1825 B.7

25 C．－725

D．－1625

答案 C

解析 因为cos?π?4－x??＝cos π4cos x＋sin π

4sin x ＝

22(cos x＋sin x)＝3

5

， 所以sin x＋cos x＝325，所以1＋2sin xcos x＝18

25，

即sin 2x＝187

25－1＝－25

.

4．(2020·福州模拟)4cos 50°－tan 40°等于( ) A.2 B.答案 C

解析 4cos 50°－tan 40°＝＝＝＝

2sin 80°－sin 40°

cos 40°2sin 100°－sin 40°

cos 40°2sin?60°＋40°?－sin 40°

cos 40°2×＝

31cos 40°＋2×sin 40°－sin 40°22

＝3.故选C.

cos 40°

4sin 40°cos 40°－sin 40°

cos 40°

2＋3

C.3 D．22－1 2

cos 2α1

5．若＝，则sin 2α的值为( )

π2α＋?sin??4?7

A．－

84C．－

7答案 B

cos2α－sin2αcos 2α

解析 ＝

π?ππ?sin?α＋4?sin αcos 4＋cos αsin 41

＝2(cos α－sin α)＝，

2即cos α－sin α＝

2

，等式两边分别平方得 4

7B. 84D. 7

17

cos2α－2sin αcos α＋sin2α＝1－sin 2α＝，解得sin 2α＝.

88ππ1＋sin β

0，?，β∈?0，?，且tan α＝6．设α∈?，则( ) ?2??2?cos βπ

A．3α－β＝

2π

C．3α＋β＝

2答案 B

1＋sin βsin α1＋sin β

解析 因为tan α＝，所以＝，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，所以sin αcos

cos βcos αcos β

π

B．2α－β＝ 2π

D．2α＋β＝ 2

πππ－α?，又α，β均为锐角，且y＝sin x在?－，?上β－cos αsin β＝cos α，即sin(α－β)＝sin??2??22?ππ

单调递增，所以α－β＝－α，即2α－β＝，故选B.

227．(多选)函数f (x)＝sin xcos x的单调递减区间可以是( ) 3ππ

kπ－，kπ－?(k∈Z) A.?44??

π3π

kπ＋，kπ＋?(k∈Z) B.?44??

ππ

2kπ＋，2kπ＋?(k∈Z) C.?42??

ππ

kπ＋，kπ＋?(k∈Z) D.?42??答案 AB

1

解析 f (x)＝sin xcos x＝sin 2x，

2π3π

由＋2kπ≤2x≤2kπ＋，k∈Z， 22π3π

得＋kπ≤x≤kπ＋，k∈Z， 44

π3π

kπ＋，kπ＋?(k∈Z)， ∴函数f (x)＝sin xcos x的单调递减区间是?44??∵函数的周期是kπ(k≠0)，故A也正确． 故选AB.

8．(多选)下列说法不正确的是( ) 1

A．存在x0∈R，使得1－cos3x0＝log2 10B．函数y＝sin 2xcos 2x的最小正周期为π ππ

x＋?的一个对称中心为?－，0? C．函数y＝cos 2??3??3?

D．若角α的终边经过点(cos(－3)，sin(－3))，则角α是第三象限角 答案 ABC

解析 在A中，因为cos x0∈[－1,1]， 所以1－cos3x0≥0， 1

因为log2

10所以不存在x0∈R，

1

使得1－cos3x0＝log2，故A错误；

10

1π

在B中，函数y＝sin 2xcos 2x＝sin 4x的最小正周期为，故B错误；

22

ππ

x＋?＝＋kπ，k∈Z， 在C中，令2??3?2πkπ

得x＝－＋，k∈Z，

122

ππkπ

x＋?的对称中心为?－＋，0?，k∈Z，故C错误； 所以函数y＝cos 2??3??122?

在D中，因为cos(－3)＝cos 3<0，sin(－3)＝－sin 3<0，所以角α是第三象限角，故D正确． ＋sin 15°31?cos 15°

9．化简：?·＝___________________. －

－sin 15°?cos 10°sin 170°?cos 15°答案 －43 解析 原式＝

3sin 10°－cos 10°1＋tan 15°2sin?10°－30°?tan 45°＋tan 15°·＝· cos 10°sin 10°1－tan 15°11－tan 45°·tan 15°

sin 20°2

＝－4·tan(45°＋15°)＝－43.

π?210．(2019·淄博模拟)已知tan??4＋θ?＝3，则sin 2θ－2cosθ＝________. 4答案 －

5

π?1＋tan θ1＋θ＝3，解析 tan?＝3，解得tan θ＝， ?4?21－tan θsin 2θ－2cos2θ＝2sin θcos θ－2cos2θ2tan θ－24

＝2＝－. 225sinθ＋cosθtanθ＋1

π?π15

，π，β∈?0，?，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的11．已知tan α＝－，cos β＝，α∈??2??2?35值．

解 由cos β＝

π5

0，?， ，β∈??2?5

25

得sin β＝，tan β＝2.

5tan α＋tan β

所以tan(α＋β)＝ 1－tan αtan β1－＋23＝＝1.

21＋3

π?π，π，β∈?0，?， 因为α∈??2??2?π3π

所以<α＋β<，

225π所以α＋β＝.

4