2008-2012年海南省中考数学试题及答案

②当∠BAE＝90°时 如图10(a) ∵AE＝AG ∠BAE ＝∠DAG ＝90°AB＝AD ∴△ABE≌△ADG

∴S1?S2 ……１０分

C

D C B

D G AG

B A ③当F 90°＜∠BAE E＜180°时 如图10(bF ) aE

图10（） 图10（b和①一样；同理可证S1?S）

2 综上所述，在(3)的条件下，总有S1?S2． ……11分

证法二： ①当0°＜∠BAE＜90°时，如图10(c) 作EM⊥AB于点M，作GN⊥AD 交DA延长线于点N， D

则∠GNA＝∠EMA＝90°

又∵四边形ABCD与

G A 四边形AEFG都是正方形，

∴AG＝AE，AB＝AD N Ｈ M C ∴∠GAN+∠EAN＝90°， F E ∠EAM+∠EAN＝90°

B ∴∠GAN＝∠EAM

图10(c) ∴△GAN≌△EAM(AAS)∴GN＝EM

∵ S1

?ADG?2AD?GN S?1?ABE2AB?EM S ? ADG ? S ?∴ABES1?S2

②③同证法一类似

证法三：

当正方形ABCD绕点A逆时针旋转 0°＜∠BAE＜180°时,S1和S2总保持相等． ……8分 证明如下：由于0°＜∠BAE＜180°因此分三种情况： ①当0°＜∠BAE＜90°时 如图10(d)

延长GA至M使AM＝AG，连接DM，则有

S?ADG?S?ADM

Ｄ Ｇ Ａ 1 3 2 Ｍ Ｃ

H Ｆ Ｅ 第 21 页 共 48 页

∵AE＝AG＝AM，AB＝AD 又∠1+∠2＝90° ∠3+∠2＝90° ∴∠1＝∠3 ∴△ABE≌△ADM (SAS) ∴

S?ABE?S?ADM?S?ADG

∴S1?S2 ……９分 ②当∠BAE＝90°时 (同证法一) ……10分

③当90°＜∠BAE＜180°时 C 如图10(e) B

和①一样； SD M 同理可证1?S2

综上所述，在(3)的条件下， G

A 总有S1?S2

F E ……11分 图10（e）

证法四： ①当0°＜∠BAE＜90°时如图10(f)

延长DA至M使AM＝AD，连接GM， D

则有

S?ADG?S?AMG

G

A 再通过证明

△ABE与△AMG全等 从而证出S1?SM Ｈ C 2

F E B ②③同证法一类似 图10(f)

证法五：

(这种证法用三角函数知识证明，无须分类证明) 如图10(g)

四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形， ∴AG＝AE，AB＝AD 当∠BAE＝?时，∠GAD＝180°-?则 sin(180°-?)＝sin?

S1?AEB?AE?ABsin?

2 S1?AGD?1AG?ADsin(180?? 即 S??AEB2AG??SADsin??) D

∴S2?AGD1?S2 G

A

Ｈ C F E B 图10(g)

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24．(1)由于直线y??x?3经过B、C两点, 令y＝0得x＝3；令x＝0，得y＝3 ∴B(3，0)，C(0，3) ……1分

∵点B、C在抛物线

y??x2?bx?c上，于是得 ???9?3b+c=0? c=3 ……2分

解得b＝2，c＝3 ……3分

∴所求函数关系式为

y??x2?2x?3 ……4分 (2)①∵点P(x,y)在抛物线

y??x2?2x?3上， 且PN⊥x轴，

∴设点P的坐标为(x, ?x2?2x?3) ……5分 同理可设点N的坐标为(x，?x?3) ……6分 又点P在第一象限，

∴PN＝PM-NM

＝(?x2?2x?3)-(?x?3) y ＝x2?3x

l C P ?(x?3)29N ＝

2?4 A B ……7分

O M x x?3∴当

2时，

9线段PN的长度的最大值为4． ……8分

②解法一：

由题意知，点P在线段BC的垂直平分线上， 又由①知，OB＝OC ∴BC的中垂线同时也是∠BOC的平分线，

∴设点P的坐标为(a,　a) 第 23 页 共 48 页

2y??x?2x?3上,于是有a??a2?2a?3 ∴a2?a?3?0 ……9又点P在抛物线

分

a1?1?131?13,a2?22 ……10分

解得

∴点P的坐标为：

?1?131?13,22? 或

?1?131?13,22? …11分

若点P的坐标为

?1?131?13,22? ，此时点P在第一象限，在Rt△OMP和Rt△BOC中，

MP?OM?1?132，OB＝OC＝3

S?BPC?S四边形BOCP?S?BOC

=2S??S?BOPBO Cy 11l =2??BO?PM-BO?CO22C P 11?139=2??3??N 222

A M B 313?6=x O 2

P ??12分

若点P的坐标为1 13 1 ? ， 此时点P在第三象限， 13 ? ?? ,S?S?BOP?S?COP?S?BOC 则?BPC11?131??3??2??3?322222

113?19??3??2?222 ?313?3?92

?313?62 ……13分

解法二：由题意知，点P在线段BC的垂直平分线上， 又由①知，OB＝OC

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