2019版高考数学一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布10.5古典概型学案理

122≥，即1＜a＋b≤9的有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)四种，故直线bx＋ay＝122a＋b3

424122

与圆x＋y＝1相交且所得弦长不超过的概率为＝. 3369

14．(2018·唐山模拟)无重复数字的五位数a1a2a3a4a5，当a1a3，a3a5

时________．

答案

2

15

1

解析 ∵a2>a1，a3；a4>a3，a5，∴a2只能是3,4,5.

(1)若a2＝3，则a4＝5，a5＝4，a1与a3是1或2，这时共有A2＝2(个)符合条件的五位数．

(2)若a2＝4，则a4＝5，a1，a3，a5可以是1,2,3，共有A3＝6(个)符合条件的五位数． (3)若a2＝5，则a4＝3或4，此时分别与(1)(2)情况相同． ∴满足条件的五位数有2(A2＋A3)＝16(个)． 162＝. 12015三、解答题

15．为了解收购的每只小龙虾的重量，某批发商在刚从甲、乙两个水产养殖场收购的小龙虾中分别随机抽取了40只，得到小龙虾的重量的频数分布表如下．

从甲水产养殖场中抽取的40只小龙虾的重量的频数分布表

重量/克 频数 从乙水产养殖场中抽取的40只小龙虾的重量的频数分布表

重量/克 频数 (1)试根据上述表格中的数据，完成从甲水产养殖场中抽取的40只小龙虾的重量的频率分布直方图；

(2)依据小龙虾的重量，将小龙虾划分为三个等级：

[5,15) 2 [15,25) 6 [25,35) 18 [35,45) 10 [45,55] 4 [5,15) 2 [15,25) 8 [25,35) 16 [35,45) 10 [45,55] 4 2

3

3

2

重量/克 等级 若规定二级以上(包括二级)的小龙虾为优质小龙虾，估计甲、乙两个水产养殖场的小龙虾哪个的“优质率”高？并说明理由；

(3)从乙水产养殖场抽取的重量在[5,15)，[15,25)，[45,55]内的小龙虾中利用分层抽样的方法抽取6只，再从这6只中随机抽取2只，求至少有1只的重量在[15,25)内的概率．

解 (1)

(2)若把频率看作相应的概率，则

16＋10＋4

“甲水产养殖场的小龙虾为优质小龙虾”的概率为＝0.75，

4018＋10＋4

“乙水产养殖场的小龙虾为优质小龙虾”的概率为＝0.8，

40所以乙水产养殖场的小龙虾“优质率”高．

(3)解法一：用分层抽样的方法从乙水产养殖场重量在[5,15)，[15,25)，[45,55]内的小龙虾中抽取6只，则重量在[5,15)内的有1只，在[15,25)内的有3只，在[45,55]内的有2只，

记重量在[5,15)内的1只为x，在[15,25)内的3只分别为y1，y2，y3，在[45,55]内的2只分别为z1，z2，从中任取2只，可能的情况有(x，y1)，(x，y2)，(x，y3)，(x，z1)，(x，

[5,25) 三级 [25,45) 二级 [45,55] 一级 z2)，(y1，y2)，(y1，y3)，(y1，z1)，(y1，z2)，(y2，y3)，(y2，z1)，(y2，z2)，(y3，z1)，(y3，z2)，(z1，z2)，共15种；

记“任取2只，至少有1只的重量在[15,25)内”为事件A，则事件A包含的情况有(x，

y1)，(x，y2)，(x，y3)，(y1，y2)，(y1，y3)，(y1，z1)，(y1，z2)，(y2，y3)，(y2，z1)，(y2，z2)，(y3，z1)，(y3，z2)，共12种．

124

所以P(A)＝＝. 155

C34

解法二：由解法一可知：重量在[15,25)内有3只，由题意可得P＝1－2＝.

C6516．(2017·石景山区一模)“累积净化量(CCM)”是空气净化器质量的一个重要衡量指标，它是指空气净化器从开始使用到净化效率为50%时对颗粒物的累积净化量，以克表示．根据GB/T18801－2015《空气净化器》国家标准，对空气净化器的累积净化量(CCM)有如下等级划分：

2

累积净化量(克) 等级 (3,5] (5,8] (8,12] 12以上 P1 P2 P3 P4 为了了解一批空气净化器(共2000台)的质量，随机抽取n台机器作为样本进行估计，已知这n台机器的累积净化量都分布在区间(4,14]中，按照(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]，(12,14]均匀分组，其中累积净化量在(4,6]的所有数据有：4.5,4.6,5.2,5.3,5.7和5.9，并绘制了如下频率分布直方图．

(1)求n的值及频率分布直方图中的x值；

(2)以样本估计总体，试估计这批空气净化器(共2000台)中等级为P2的空气净化器有多少台？

(3)从累积净化量在(4,6]的样本中随机抽取2台，求恰好有1台等级为P2的概率． 解 (1)∵在(4,6]之间的数据一共有6个， 再由频率分布直方图得：

落在(4,6]之间的频率为0.03×2＝0.06， ∴n＝

6

＝100， 0.06

由频率分布直方图的性质得：

(0.03＋x＋0.12＋0.14＋0.15)×2＝1， 解得x＝0.06.

(2)由频率分布直方图可知：落在(6,8]之间共：0.12×2×100＝24台． 又∵在(5,6]之间共4台， ∴落在(5,8]之间共28台，

∴估计这批空气净化器(共2000台)中等级为P2的空气净化器有560台． (3)设“恰好有1台等级为P2”为事件B，

依题意落在(4,6]之间共6台，属于国标P2级的有4台， 则从(4,6]中随机抽取2台，基本事件总数n＝C6＝15， 事件B包含的基本事件个数m＝C4C2＝8，

11

2

m8

∴恰好有1台等级为P2的概率P(B)＝＝. n15