2019版高考数学一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布10.5古典概型学案理

10.5 古典概型

[知识梳理] 1．基本事件的特点

(1)任何两个基本事件都是互斥的．

(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 2．古典概型

具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． (1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个． (2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．

3．如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么1

每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)

n＝. 4．古典概型的概率公式

mnP(A)＝

A包含的基本事件的个数

基本事件的总数

.

[诊断自测] 1．概念思辨

(1)在一次试验中，其基本事件的发生一定是等可能的. ( )

(2)事件A，B至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大．( ) (3)在古典概型中，如果事件A中基本事件构成集合A，所有的基本事件构成集合I，card?A?

那么事件A的概率为.( )

card?I?

(4)利用古典概型的概率可求“在边长为2的正方形内任取一点，这点到正方形中心距离小于或等于1”的概率．( )

答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× 2．教材衍化

x≠y，则点(x，y)在直线y＝x的上方的概率是( )

1112A. B. C. D. 3243答案 B

6＝30个，而满足在直线y＝x的上方，即y>x的点(x，y)的基本事件共有15个，故所

151

求概率为P＝＝.故选B.

302

(2)(必修A3P133A组T1)已知A，B，C，D是球面上的四个点，其中A，B，C在同一圆周上，若D不在A，B，C所在的圆周上，则从这四点中的任意两点的连线中取2条，这两条直线是异面直线的概率等于________．

答案

1 5

解析 A，B，C，D四点可构成一个以D为顶点的三棱锥，共6条棱，则所有基本事件有：(AB，BC)，(AB，AC)，(AB，AD)，(AB，BD)，(AB，CD)，(BC，CA)，(BC，BD)，(BC，

AD)，(BC，CD)，(AC，AD)，(AC，BD)，(AC，CD)，(AD，BD)，(AD，CD)，(BD，CD)，共15

个，其中满足条件的基本事件有：(AB，CD)，(BC，AD)，(AC，BD)，共3个，所以所求概率P＝

31＝. 155

3．小题热身

(1)(2016·全国卷Ⅰ)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )

1125A. B. C. D. 3236答案 C

解析 解法一：从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种有以下选法：(红黄)、(红白)、(红紫)、(黄白)、(黄紫)、(白紫)，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛(亦42

即黄色和白色的花不在同一花坛)的选法有4种，所以所求事件的概率P＝＝，故选C.

63

(2)(2018·山西联考)从(40,30)，(50,10)，(20,30)，(45,5)，(10,10)这5个点中任取一个，这个点在圆x＋y＝2016内部的概率是( )

3214A. B. C. D. 5555答案 B

解析 从(40,30)，(50,10)，(20,30)，(45,5)，(10,10)这5个点中任取一个的基本事件总数为5，

这个点在圆x＋y＝2016内部包含的基本事件有(20,30)，(10,10)，共2个， 222

∴这个点在圆x＋y＝2016内部的概率P＝，故选B.

5

题型1 简单古典概型的求解

2

2

2

2

典例1 (2016·北京高考)从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为( )

1289A. B. C. D. 552525答案 B

解析 设其他3名学生为丙、丁、戊，从中任选2人的所有情况有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，(乙，丙)，(乙，丁)，(乙，戊)，(丙，丁)，(丙，戊)，(丁，戊)，共4＋3＋2＋1＝10种．

其中甲被选中的情况有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，共4种，故甲被42C1C42

选中的概率为＝，或P＝2＝.故选B.

105C55

典例2 (2017·山西一模)现有2名女教师和1名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为( )

1213A. B. C. D. 3324答案 C

解析 记两道题分别为A，B，所有抽取的情况为AAA，AAB，ABA，ABB，BAA，BAB，BBA，

11

BBB(其中第1个，第2个分别表示两个女教师抽取的题目，第3个表示男教师抽取的题目)，

共有8种；其中满足恰有一男一女抽到同一道题目的情况为ABA，ABB，BAA，BAB，共4种．故1

所求事件的概率为.故选C.

2

方法技巧

应用古典概型求某事件的步骤

第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；

第二步，分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m； 第三步，利用公式P(A)＝，求出事件A的概率．见典例1,2. 冲关针对训练

(2018·安徽名校模拟)某车展展出甲、乙两种最新款式的汽车，现从参观人员中随机选取100人对这两种汽车均进行评价，评价分为三个等级：优秀、良好、合格，由统计信32

息可知，甲种汽车被评价为优秀的频率为，良好的频率为；乙种汽车被评价为优秀的频

557

率为，良好的频率是合格的频率的5倍．

10

mn

(1)求这100人中对乙种汽车评价优秀或良好的人数；

(2)如果从这100人中按甲种汽车的评价等级用分层抽样的方法抽取5人，再从其他对乙种汽车评价优秀、良好的人中各选取1人进行座谈会，会后从这7人中随机抽取2人，求选取的2人评价都是优秀的概率．

7

解 (1)因为对乙种汽车评价优秀的频率为，

10故评价良好或合格的频率为1－

73＝. 1010

31

设评价合格的频率为x，则评价良好的频率为5x，由题意可得x＋5x＝，解得x＝.

10201??7

所以这100人中对乙种汽车评价优秀或良好的人数为100×?＋5×?＝95.

20??1032

(2)因为对甲种汽车评价优秀的频率为，良好的频率为，则用分层抽样的方法抽取5

55人，其中有3人评价优秀，2人评价良好．

又从对乙种汽车评价优秀、良好的人中各选取1人，所以7人中评价优秀的4人，评价良好的3人．

C42

由题意得：P＝2＝.

C77

2

题型2 复杂古典概型的求解

典例 (2016·山东高考)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：

①若xy≤3，则奖励玩具一个； ②若xy≥8，则奖励水杯一个； ③其余情况奖励饮料一瓶．

假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动． (1)求小亮获得玩具的概率；

(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．

解 用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S＝{(x，

y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应．

因为S中元素的个数是4×4＝16， 所以基本事件总数n＝16.

(1)记“xy≤3”为事件A，则事件A包含的基本事件数共5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，