概率论习题课1答案

1、 设A、B是试验E的两事件，问A与B相互独立，互不相容和互为对立事件三者能否同

时成立？三者关系如何？

2、 某人有两盒火柴，吸烟时从任一盒中取一根火柴，经过若干时间后，发现火柴已用完。

如果最初两盒中各有n根火柴，求这时另一盒中还有r根火柴的概率。

3、 假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂；以概率0.3需进一步调试，经

调试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格品不能出厂，现该厂新生产了n(n?2)台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求 （1） 全部能出厂的概率；

（2） 其中恰好有两件不能出厂的概率； （3） 其中至少有两件不能出厂的概率。

4、 设有来自三个地区的各10名，15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3

份，7份和5份，随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份。 （1） 求先抽到的一份是女生表的概率

（2） 已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率。

5、 设随机试验E中某一事件A发生的概率为1>P>0，试求证：独立地连续重复做试验E

时，不论P如何小，A迟早会发生的概率为1。

6、 有两个盒子，第一个盒中装有2个红球，1个黑球，第二个盒中装有2个红球，2个黑

球。现从这两个盒中各任取一球放在一起，再从中任取一球，问： （1）这个球是红球的概率；

（2）若发现这球是红球，问第一个盒中取出的球是红球的概率。

7、 甲盒中装有4个红球、2个白球，乙盒中装有2个红球、4个白球，掷一次均匀的硬币，

若出现正面，则从甲盒中任取一球；若出现背面，则从乙盒中任取一球，设每次取出的球都放回原盒，试求：

（1） 如果前二次都取得红球，求第三次也取得红球的概率； （2） 如果前两次都取得红球，求球都是甲盒的球的概率

8、甲、乙、丙三人进行比赛，规定甲、乙两人先比，胜者与丙比，依此循环，直到一人连

胜两次为止，此人即为冠军，假定比赛双方取胜的概率都是1/2，求各人得冠军的概率。

1、 解：一般不能同时成立，相互独立、互不相容和互为对立事件是概率论中三个不同的非

常重要的概念：

A与B互不相容?AB?? （1） A与B互为对立事件?AB??且A?B?? （2） A与B相互独立?P(AB)?P(A)P(B) （3）

关系（i）比较（1）与（2）可见，若A与B互为对立事件，则A与B一定互不相容，反之，却不一定成立。

（ii）当P（A）>0,且P(B)>0,由(3)知,P(AB)>0,当然AB??,因此当P(A)>0且P(B)>0时,互不相容一定不相互独立,反之,若相互独立,则一定相容,即当P(A)>0且P(B)>0时,相互独立与互不相容不能同时成立,只有当P(A)与P(B)之中至少有一个为0时,才有可能既互不相容又相互独立,设P(A)=0,B为任意一事件,则有P(AB)=0=P(A)P(B),即A事件与任一事件B都是独立的,但是有P(AB)=0是不能推出AB??。

（iii）互为对立事件与相互独立的关系和（ii）相同，互为对立事件与相互独立一般不能同

时成立。

2、解：不妨设甲盒已空而乙盒还有r根火柴，因为是随机抽取，可知这时必已取过2n-r次，每次取甲、乙盒的概率均为1/2，而在2n-r次中必定是n次取了甲盒的，n-r次取了乙盒的。最后第2n-r+1次必定是取甲盒的，否则不知其为空盒，故概率为

p1?1n111n12n?rC2n?r()n()n?r=C2 n?r()222221212121212nnn?rn2n?r同理，最后乙盒空而甲盒剩r根的概率为p2?C2=C2 n?r()()n?r()故所求概率 为p?p1?12n?rnp2?C2n?r()2?rC2n?r22n?r

3、 解：对于新生产的每台仪器，引进事件

A={仪器需进一步调试}，B={仪器能出场}

则A={仪器能直接出场}，AB={仪器经调试能出厂} 由题意知，B?A?AB

P(A)?0.30,P(BA)?0.8

P(AB)?P(A)P(BA)?0.3?0.8?0.24

P(B)?P(A)?P(AB)?0.7?0.24?0.94 故P(B)?1?P(B)?1?0.94?0.06

现将所生产的几台仪器能否出厂的检验过程看成n重贝努里试验，一台仪器不能出厂

的概率为p?0.06，因此

0（1）全部能出厂的概率：Pn(0)?Cn(0.06)0(1?0.06)n?0.94n

（2）其中恰好有两件不能出厂的概率：

22Pn(2)?Cn(0.06)2(1?0.06)n?2?Cn0.062?0.94n?2

（3）其中至少有两件不能出厂的概率：

?P(k)?1?P(0)?P(1)?1?0.94nnnk?2nn1?Cn0.06?0.94n?1

4、 解：Hi={报名表是第i区考生的}（i=1，2，3） Aj={第j次抽到的报名表是男生表}，（j=1，2） 则有 P(H1)?P(H2)?P(H3)? P(A1H1)?31， 37820,P(A1H2)?,P(A1H3)?, 101525 （1）p?P(A1)?137529 P(H)P(AH)?(??)??i1i310152590i?1 （2）由全概率公式 P(A2H1)?7820,P(A2H2)?,P(A2H3)?, 101525377788P(A1A2H1)?????，P(A1A2H2)?

109301514305205P(A1A2H3)???

252430P(A1A2)P(A1A2)??P(A2)?P(H)P(AAi1i?1332Hi)

?P(H)P(Aii?12Hi)1785(??)20 ?3303030?

1782061(??)3101525

5、 证：以Ak表示事件“A在第第k次试验中发生”，则P(Ak)?p，在前n次试验中A

都不发生的概率为

P(A1A2?An)?P(A1)P(A2)?P(An)?(1?p)n

于是在前n次独立试验中，A至少发生一次的概率为：

P(A1?A2???An)?1?P(A1)P(A2)?P(An)?1?(1?p)n?1,(n???)

即，独立地连续重复做试验E时，不论P如何小，A迟早会发生的概率为1。

6、解：（1）令A={取得一个红球}

Bi?{从第i个盒中取出一个红球}，i=1，2

于是P(B1B2)???，P(AB1B2)?1

P(B1B2)?P(B1B2)?P(B1B2)?2211??，P(AB1B2)? 34321211??，P(AB1B2)? 3462121??，P(AB1B2)?0 346232413由全概率公式

P(A)?P(B1B2)P(AB1B2)?P(B1B2)P(AB1B2)

+P(B1B2)P(AB1B2)?P(B1B2)P(AB1B2) =?1?13111114?2?17?????0?? 326261212（2）P(B1A)?P[(B1B2?B1B2)A]