高中数学第二章2.2.2事件的相互独立性学案含解析新人教A版选修20

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1248A. B. C. D. 39927

22解析：选A 青蛙跳三次要回到A叶只有两条途径．第一条：按A→B→C→A，P1＝×

33281111

×＝；第二条：按A→C→B→A，P2＝××＝，所以跳三次之后停在A叶上的概率为32733327

P＝P1＋P2＝＋＝. 1

5．在如图所示的电路图中，开关a，b，c闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，

2则灯亮的概率是( )

81127273

1317A. B. C. D. 8848

解析：选B 设开关a，b，c闭合的事件分别为A，B，C，则灯亮这一事件E＝ABC∪AB

C∪A BC，且A，B，C相互独立，ABC，AB C，A BC互斥，所以P(E)＝P(ABC∪AB C∪A BC)

＝P(ABC)＋P(AB C)＋P(A BC)

＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C) 11111?1?1?1?13＝××＋××?1－?＋×?1－?×＝.

2?2822222?2?2?二、填空题

6．已知P(A)＝0.3，P(B)＝0.5，当事件A，B相互独立时，P(A∪B)＝________，P(A|B)＝________.

解析：因为A，B相互独立，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A)·P(B)＝0.3＋0.5－0.3×0.5＝0.65，P(A|B)＝P(A)＝0.3.

答案：0.65 0.3

7．甲、乙两人参加环保知识竞赛，在10道备选试题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题．现规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题为合格．则甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为__________．

解析：设甲、乙两人考试合格的事件分别为A，B，事件A，B相互独立．

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C6C4＋C62C8C2＋C814P(A)＝＝，P(B)＝＝. 33

C103C1015所以甲、乙两人考试均不合格的概率为

213213

P(AB)＝P(A)(B)＝?1－??1－?＝，

315

－－－－

??

2??

??

14?

?

145

故甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为

P＝1－P(AB)＝1－＝. 44答案： 45

8．同学甲参加某科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错或不答均得零分．假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8，0.6,0.5，且各题答对与否相互之间没有影响，则同学甲得分不低于300分的概率是________．

解析：设“同学甲答对第i个题”为事件Ai(i＝1,2,3)，则P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.6，

－－

1444545

P(A3)＝0.5，

且A1，A2，A3相互独立，同学甲得分不低于300分对应于事件A1A2A3∪A1 A2A3∪A1A2A3

发生，

故所求概率为

P＝P(A1A2A3∪A1 A2A3∪A1A2A3)

＝P(A1A2A3)＋P(A1 A2A3)＋P(A1A2A3) ＝P(A1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(A2)P(A3)＋

P(A1)P(A2)P(A3)＝0.8×0.6×0.5＋0.8×0.4×0.5＋0.2×0.6×0.5＝0.46.

答案：0.46 三、解答题

9．(山东高考节选)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星3

队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮

42

猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”

3参加两轮活动，求：

(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；

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(2)“星队”两轮得分之和X的分布列． 解：(1)记事件A：“甲第一轮猜对”， 记事件B：“乙第一轮猜对”， 记事件C：“甲第二轮猜对”， 记事件D：“乙第二轮猜对”，

记事件E：“‘星队’至少猜对3个成语”．

由题意，E＝ABCD＋ABCD＋ABCD＋ABCD＋ABCD，由事件的独立性与互斥性， 得P(E)＝P(ABCD)＋P(ABCD)＋P(ABCD)＋P(ABCD)＋P(ABCD)＝P(A)P(B)P(C)P(D)＋P(A)P(B)P(C)P(D)＋P(A)P(B)P(C)P(D)＋P(A)·P(B)P(C)P(D)＋P(A)P(B)P(C)P(D)3232123231322＝×××＋2××××＋×××＝， 4343434343433

2所以“星队”至少猜对3个成语的概率为.

3

(2)由题意，随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性，得

P(X＝0)＝×××＝34

1143111

，

4314411113434313143431111434323133434

23

11105

＝，

4314472

31124343

1225

，

43144

P(X＝1)＝2××××＋×××＝3143324334

P(X＝2)＝×××＋×××＋×××＋×××＝P(X＝3)＝×××＋×××＝

23

32121

＝，

4314412

12605

＝，

4314412

12124343

P(X＝4)＝2××××＋×××＝P(X＝6)＝×××＝3243

32361

＝. 431444

可得随机变量X的分布列为

X P 0 1 1441 5 722 25 1443 1 124 5 126 1 410．在某校运动会中，甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛(即每两队比赛一场)，共赛1

三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局．在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，311

甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为.

43

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(1)求甲队获第一名且丙队获第二名的概率； (2)求在该次比赛中甲队至少得3分的概率． 解：(1)设甲队获第一且丙队获第二为事件A， 11?1?1

则P(A)＝××?1－?＝. 3?1834?

(2)甲队至少得3分有两种情况：两场只胜一场；两场都胜．设事件B为“甲两场只胜一场”，设事件C为“甲两场都胜”，则事件“甲队至少得3分”为B＋C，则P(B＋C)＝P(B)1?1?1?1?11511

＋P(C)＝×?1－?＋×?1－?＋×＝＋＝.

4?4?3?34121223?

11．A，B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验，每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效，若在一个试验组中，服用

A有效的白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A有效

21

的概率为，服用B有效的概率为.

32

(1)求一个试验组为甲类组的概率；

(2)观察3个试验组，求这3个试验组中至少有一个甲类组的概率．

解：(1)设Ai表示事件“一个试验组中，服用A有效的小白鼠有i只”，i＝0,1,2.Bi11

表示事件“一个试验组中，服用B有效的小白鼠有i只”，i＝0,1,2.据题意有：P(A0)＝×331＝， 9

P(A1)＝2××＝， P(A2)＝×＝， P(B0)＝×＝， P(B1)＝2××＝. 1414144

所求概率为P＝P(B0A1)＋P(B0A2)＋P(B1A2)＝×＋×＋×＝.

4949299

1122

12

12

112423

2439

123349

?4?3604

(2)所求概率P′＝1－?1－?＝.

?9?729

敬请批评指正

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