（整理）一致收敛性判别及应用

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x∈?a，b?，

，，

由定理一：设??n?x??在区间?a，b?上的连续函数列，且对于????a，b?，都存在

（1）?n?x???n+1?x??0，其中

，

（2）

?.

则交错函数顶级数??-1??n?x?在?a，b?上一致收敛。我们可以知道，函数

n?1项级数?n=1??-1?n-1n+x2在区间?a，b?一致收敛。

M一判别法

定理二： 设有函数级数??n?x?，存在一收敛的正项级数??n使得对于

n=1n=1??∈1，存在limn???n?x?=??+?＞??0? ?n? 则函数项级数??n?x?在区间I一致收敛。

n=1证明：从以上条件已知limn???n?x?=??+?＞??0?，即是??＞0，N∈?n0，

x∈I有|-|＜

?n?x?-?＜?0+?，即是

?n-?＜

??0+???n，

又因为??n存在收敛，则???0+???n也存在收敛，由M-判别法得出函数

n=1n=1??顶级数??n?x?在区间I一致收敛。

n=1? 上面我们谈了函数项级数的判别法，下面我们简单阐述函数列的判别法。

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（一）点的收敛 函数列

??n?x??在x点收敛于?n?x?，指的是：

0，N属于自然数，

当n＞N的时候，存在

?n?x?-?n?x?＜?00.

注：在以上情况中，对于，满足其收敛定义要求的自然数N不是固定

不变的，是有无穷个的。我们可以推理为，假如N满足了收敛定义的要求，那么N+1，N+2，N+n都满足收敛定义的要求。以上的无穷多个自然数N，构成一个无穷自然数集合E=﹛

收敛，实质上是一个数列的收敛问题。 （二）、逐点收敛 假设函数列

﹜。这在点x0的

??n?x??在点集E上面收敛于???x??，即是?

?0

∈E，?n?x?都

??在x0这一个点收敛于??x0?，这时候存在?n?x?-?n?x0?＜?。（注：Nx0是与x0以及?有关的，且与两者都有关，对于不同的x0，有着不同的（三）、一致收敛

假设在点集E上的函数列

??n?x??与??x?函数，对于

，当n＞N

时，?x∈E时，则存在?n?x?-?n?x?＜?，那么则称为函数列上一致收敛于??x?。下面进行论述： 例4：

??n?x??在点集E

??n?x?? =?x?在?a，b?（1＞a＞0）上存在共同的N；同时，在?0,1?n上不存在共同的大N。 证明：从

，那么则存在 ??n?x??中我们可以得知，?∈（-1,1）

x?n?x?=lim?x?=0

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即是： 对立

??n?x?? =?x?在（-1,1）内收敛于??x?=0.

n＞0，要使n＞N与a≥x≥-a成立，则必须使?n?x?-??x?=xn＜?成

当x≠0的时候，存在n

＜log?，只要n＞N，那么就会存在n

成立

＜log?

log? 即是：当n＞（

log??log??

只需要将N的取值范围定在??即可， N的值就是共同的大N（在

log???

再证：当x∈

1的时候，存在?0= 对于

2N0=2N＞N x0=

（自然数）都存在

∈

?-21??-21N使?n?x0?-??x0?=?x0?=?2N???N0?1?=成立。 ?2 这说明了集合Nx0，?x0，?N0，在对应n＞N0有?n?x0?-??x0?＜?不存在上界。 所以：

????n?x?? =?x?在

n上不存在共同的大N，即是在

三：一致收敛性的应用

从以上我们可以基本的了解函数顶级数及函数列的一致收敛性，下面我们在此基础上对一致收敛性的基本应用进行理解： （一）、内闭一致收敛

假设E作为区间，假如对于任意??，??E，

??n?x??在??，??上都一致收

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敛于??x?，那么则称为 若在

??n?x??在区间E内闭一致收敛于??x?。

上一

??n?x??区间E内闭一致收敛于??x?，则在E上收敛于??x?

n??n?x?? =?x?，虽然在

致收敛，即是对（-1,1）内任何一个闭区间上都一致收敛，以上性质称之为内闭一致收敛。下面我们继续以上定义： 对?x0∈E，那么一定存在 由于

E，使

??n?x??在E内闭一致收敛于??x?，因此，在??，??上也收敛于??x?，

收敛于??x0?，从而在E上收敛于??x?。反之则不一定

我们可以很明显的看出成立：

例如?xn?在（-1,1）内闭一致收敛于0，但是在（-1,1）内则不一致收敛；

?x?在

n上不一致收敛，当然在（-1,1）内不一致收敛。

（二）、近于一致收敛 设

??n?x??与??x?定义在点集E的函数，如对??＞0，eE使＜?而

??n?x??在E\\上一致收敛，则称之为??n?x??在E上近于一致收敛，即是：当去

掉一个测度可以任意小的某点集之后一致收敛。

从以上我们可以得知：内闭一致收敛，对于E确定义为区间，对于??＞0（预先得知的）可以使得集合E\\存在闭集EE

之测度小于?（因为对于点集E，总是

（F\\E）＜?，所以，对于区间绝对成立）。以上说明了内闭一

致收敛，当然近一致收敛。反之则不一定成立。 例五：定义在

的函数列

??n?x??

（当x为无理数）

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