15-16-2概率统计A期中试卷（定稿）

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五（15分）、设随机变量X的概率密度为

?ax，0?x?? , fX(x)???0，其他（1） 求常数a的值；

2（2）证明随机变量Y?X2服从区间??0，???的均匀分布；

（3）求随机变量Z?sinX的概率密度函数。

六（8分）、设二维随机变量?X,Y?的联合概率密度函数为

?(1?2x)(1?2y)/4,0?x?1,0?y?1 f(x,y)??，

0,其他?（1） 求X与Y的边缘概率密度；

（2） 判断X与Y是否独立，说明理由。

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七 (15分)、已知一个系统L由元件L1和元件L2串联而成，如下图所示：

AAA L1 L2

设元件L1的寿命X和元件L2的寿命Y都服从指数分布（单位：年），其密度函数分别为：

xy?1?5?1?4 当 x?0 当 y?0?e，?e， fX(x)??5， fY(y)??4

?0 ，?0 ，? 当y?0? 当x?0假定两元件是否正常工作是独立的，以随机变量T代表系统L的寿命。 （1） 求元件L1的寿命大于元件L2的寿命的概率； （2） 求系统L的寿命的概率密度函数fT(t)；

（3）已知系统正常工作了2年，求系统还能正常工作4年的概率。

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