2013年全国各地中考数学二次函数压轴题1[1]

点N的坐标．然后利用待定系数法求出抛物线的解析式． （2）△MNA中，过N作MA边上的高NC，先由∠BAO的正弦值求出NC的表达式，而AM=OA﹣OM，由三角形的面积公式可得到关于S△MNA、t的函数关系式，利用所得函数的性质即可求出△MNA的最大面积． （3）首先求出N点的坐标，然后表示出AM、MN、AN三边的长；由于△MNA的腰和底不确定，若该三角形是等腰三角形，可分三种情况讨论：①MN=NA、②MN=MA、③NA=MA；直接根据等量关系列方程求解即可． 解答： 解：（1）由题意，A（6，0）、B（0，8），则OA=6，OB=8，AB=10； 当t=3时，AN=t=5=AB，即N是线段AB的中点； ∴N（3，4）． 设抛物线的解析式为：y=ax（x﹣6），则： 4=3a（3﹣6），a=﹣； ∴抛物线的解析式：y=﹣x（x﹣6）=﹣x+x． （2）过点N作NC⊥OA于C； 由题意，AN=t，AM=OA﹣OM=6﹣t，NC=NA?sin∠BAO=t?=t； 则：S△MNA=AM?NC=×（6﹣t）×t=﹣（t﹣3）+6． ∴△MNA的面积有最大值，且最大值为6． （3）Rt△NCA中，AN=t，NC=AN?sin∠BAO=t，AC=AN?cos∠BAO=t； ∴OC=OA﹣AC=6﹣t，∴N（6﹣t，t）． 22∴NM==； 又：AM=6﹣t，AN=t（0＜t＜6）； ①当MN=AN时，②当MN=MA时，=t，即：t﹣8t+12=0，t1=2，t2=6（舍去）； =6﹣t，即：t﹣12t=0，t1=0（舍去），t2=22； ③当AM=AN时，6﹣t=t，即t=； 综上，当t的值取 2或或 时，△MAN是等腰三角形． 点评： 该动点函数综合题涉及了二次函数的性质、图形面积的求法、等腰三角形的判定等知识．应注意的是，当等腰三角形的腰和底不明确时，要分情况进行讨论，以免漏解．

8．（2012?张家界）如图，抛物线y=﹣x+线AB的对称点为D，E为线段AB的中点． （1）分别求出点A、点B的坐标； （2）求直线AB的解析式；

（3）若反比例函数y=的图象过点D，求k值；

（4）两动点P、Q同时从点A出发，分别沿AB、AO方向向B、O移动，点P每秒移动1个单位，点Q每秒移动个单位，设△POQ的面积为S，移动时间为t，问：S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的t值；若不存在，请说明理由．

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x+2与x轴交于C、A两点，与y轴交于点B，OB=4．点O关于直

考点： 二次函数综合题。 专题： 压轴题；动点型。 分析： （1）抛物线的解析式中，令x=0，能确定抛物线与y轴的交点坐标（即B点坐标）；令y=0，能确定抛物线与x轴的交点坐标（即A、C的坐标）． （2）由（1）的结果，利用待定系数法可求出直线AB的解析式． （3）欲求出反比例函数的解析式，需要先得到D点的坐标．已知A、B的坐标，易判断出△OAB是含特殊角的直角三角形，结合O、D关于直线AB对称，可得出OD的长，结合∠DOA的读数，即可得到D点的坐标，由此得解． （4）首先用t列出AQ、AP的表达式，进而可得到P到x轴的距离，以OQ为底、P到x轴的距离为高，可得到关于S、t的函数关系式，根据函数的性质即可得到S的最大值及此时t的值． 解答： 2解：（1）令y=0，即﹣x+∴C（﹣，0）、A（2x+2=0；解得 x1=﹣，x2=2． ，0）． 令x=0，即y=2， ∴B（0，2）． 综上，A（2，0）、B（0，2）． （2）令AB方程为y=k1x+2因为点A（2∴0=k1?2+2 ∴k1=﹣

，0）在直线上，

∴直线AB的解析式为y=﹣ （3）由A（2，0）、B（0，2）得：OA=2，OB=2，AB=4，∠BAO=30°，∠DOA=60°； OD与O点关于AB对称 ∴OD=OA=2 ∴D点的横坐标为，纵坐标为3，即D（，3）． 因为y=过点D， ∴3= （4）AP=t，AQ=t，P到x轴的距离：AP?sin30°=t，OQ=OA﹣AQ=2∴S△OPQ=?（2﹣t）?t=﹣（t﹣2）+； 2x+2． ，∴k=3． ﹣t； 依题意，得0＜t≤4 ∴当t=2时，S有最大值为． 点评： 该题考查的知识点有：函数解析式的确定、二次函数的性质、图形面积的解法等，在解答动点函数问题时，一定要注意未知数的取值范围． 9．（2012?云南）如图，在平面直角坐标系中，直线y=

x+2交x轴于点P，交y轴于点A．抛物线y=

x+bx+c

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的图象过点E（﹣1，0），并与直线相交于A、B两点． （1）求抛物线的解析式（关系式）； （2）过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标； （3）除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得△MAB是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

考点： 二次函数综合题。 分析： （1）首先求出A点坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）利用相似三角形（Rt△OCA∽Rt△OPA）比例线段之间的关系，求出线段OC的长度，从而得到C点的坐标，如题图所示；

（3）存在所求的M点，在x轴上有3个，y轴上有2个，注意不要遗漏．求点M坐标的过程并不复杂，但要充分利用相似三角形比例线段之间的关系． 解答： 解：（1）直线解析式为y=∴A（0，2）， ∵抛物线y=x+bx+c的图象过点A（0，2），E（﹣1，0）， 2x+2，令x=0，则y=2， ∴， 解得． 2∴抛物线的解析式为：y= （2）∵直线y=x+x+2． x+2分别交x轴、y轴于点P、点A， ∴P（6，0），A（0，2）， ∴OP=6，OA=2． ∵AC⊥AB，OA⊥OP， ∴Rt△OCA∽Rt△OPA，∴∴OC=， ， 又C点在x轴负半轴上， ∴点C的坐标为C（ （3）抛物线y=令x+x+2=， 2，0）． x+x+2与直线y=x+2， 2x+2交于A、B两点， 解得x1=0，x2=∴B（，）． 如答图①所示，过点B作BD⊥x轴于点D， 则D（，0），BD=，DP=6﹣=． 点M在坐标轴上，且△MAB是直角三角形，有以下几种情况： ①当点M在x轴上，且BM⊥AB，如答图①所示． 设M（m，0），则MD=∵BM⊥AB，BD⊥x轴，∴﹣m． ，