福建师范大学高等数学（上）试题及答案

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高等数学（上）试题及答案

一、 填空题（每小题3分，本题共15分）

21、lim(1?3x)x?______.。

x?0x?x?0?e2、当k 时，f(x)??在x?0处连续．

2?x?0?x?k3、设y?x?lnx,则

dxdy?______

4、曲线y?ex?x在点（0，1）处的切线方程是 5、若?f(x)dx?sin2x?C，C为常数，则f(x)? 。 二、 单项选择题（每小题3分，本题共15分）

xx1、若函数f(x)?，则limf(x)?（ ）

x?0A、0 B、?1 C、1 D、不存在 2、下列变量中，是无穷小量的为（ ）

A. ln1x(x?0) B. lnx(x?1) C. cosx (x?0) D.

?x?2x?42(x?2)

3、满足方程f?(x)?0的x是函数y?f(x)的（ ）．

A．极大值点 B．极小值点 C．驻点 D．间断点 4、下列无穷积分收敛的是（ ）

A、???0sinxdx B、???0e?2xdx C、???1x0dx D、???1x0dx

5、设空间三点的坐标分别为M（1，1，1）、A（2，2，1）、B（2，1，2）。则?AMB=

A、

?3 B、

?4 C、

?2 D、?

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三、 计算题（每小题7分，本题共56分）

1、求极限 lim4?x?2sin2x1x?1e?12 。

x?02、求极限 lim(x?0x)

coxs?e3、求极限 limx?01?tdtx2

4、设y?e5?ln(x?1?x2)，求y?

2?x?ln(1?t2)dy5、设f?y(x)由已知?，求 2dxy?arctant?6、求不定积分 7、求不定积分

?x12sin(2x?3)dx

?ecosxdx

x?1??1?ex8、设f(x)???1??1?xx?0， 求 x?0?20f(x?1)dx

四、 应用题（本题7分）

求曲线y?x2与x?y2所围成图形的面积A以及A饶y轴旋转所产生的旋转体的体积。 五、 证明题（本题7分）

若f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)?f(1)?0，f()?1，证明：

21在(0,1)内至少有一点?，使f?(?)?1。

参考答案

一。填空题（每小题3分，本题共15分） 1、e 2、k =1 ． 3、

6x1?x 4、y?1 5、f(x)?2cos2x

二．单项选择题（每小题3分，本题共15分）

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1、D 2、B 3、C 4、B 5、A 三．计算题（本题共56分，每小题7分） 1.解：lim4?x?2sin2x1x1e?1coxsx?limxsin2x(4?x?2)e?1?xx(e?1)xxx?0x?0?12xlim2xsin2x(4?x?2)exxxx?0?18 7分

2.解 ：lim(x?0?)?limx?0?lime?1e?1?xexxx?0?limx?0e?e?xex?12 7分

?e3、解： limx?01?t2dt?limx?0?sinxe2x?cos2xx2??12e 7分

4、解： y??x?11?x11?x2(1?11?x2)……………………… …...4分

?2 ……………………………………… …...7分

11?t?5、解：

2tdx1?t2dy2?212t （4分）

dydx2?ddtdx(dy)dx?dt?12t22t1?t2??1?t4t32 （7分）

6、解：?

1x2sin(2x?3)dx??12?sin(2x?3)d(23?3)?12cos(2x?3)?C （7分）

7、 解：

?ecosxdx?x?cosxde

?ecosx?xx?esinxdx…………………… …….2分 ?sinxx?ecosx?xxde..………………… ……….3分

x?ecosx?esinx?x?ecosxdx ……… ……5分

x?e(sinx?cosx)?C ……………… ……… …7分

x

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8、解：?f(x?1)dx?02?1?1f(x)dx?0??0?1f(x)dx?1?10f(x)dx… …2分

??dx1?ex?1?dx1?x0 ……… ………3分

??0?1(1?exx1?ex)dx?ln(1?x)0…… ……5分

1?1?ln(1?e)0?ln2 ……………… …6分

?1?1?ln(1?e?1)?ln(1?e)………… 四． 应用题（本题7分）

解：曲线y?x2与x?y2的交点为（1，1）， 于是曲线y?x2与x?y2所围成图形的面积A为

13 A??(x?x2)dx?[22 03x?13x2]10?13 A绕y轴旋转所产生的旋转体的体积为：

1 V????(y)2?y4?1dy???y2y5?3???? 0?25??010五、证明题（本题7分）

证明： 设F(x)?f(x)?x， ……………………….……… 显然F(x)在[12,1]上连续，在(12,1)内可导，

且 F(112)?2?0，F(1)??1?0. 由零点定理知存在x11?[2,1]，使F(x1)?0. …….… 由F(0)?0，在[0,x1]上应用罗尔定理知，至少存在一点

??(0,x1)?(0,1)，使F?(?)?f?(?)?1?0，即f?(?)?1 …

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……7分

1分

4分

7分 ……2分

…………4分

…7分