六年级数学竞赛上册奥数高思第18讲数字谜综合二（彩色） - 图文

六 年 级 上册第 18 讲

18 数字谜综合二

身体健康

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身体健康

数字谜综合二

课 本

我们先来观察几个有趣的等式：

2× 2 = 2 + 2 ，1.5×3 =1.5 + 3，1.2× 6 =1.2 + 6 ，…

这些等式，等号左右两边出现的数字相同，左边是乘法，右边是加法，而所得的乘 积与和数相同．也就是两个数的乘积等于这两个数的和．你能再写出几个类似的等式吗？

如果盲目瞎写，随便找两个数，看看乘积是不是与和数一样，这是不可行的，犹如 海底捞针．而事实上，要写出几个类似的等式是很容易的．前提是你要找到其中的规律． 我们设这两个数分别为a 和b ，我们希望和与积相同，也就是 ab = a + b ．

我们对这个等式进行变形： （1） ab = a + b ；

（2） ab ? a = b ；【把含有字母 a 的项都移到左边】

（3） a(b ?1)= b ；【提公因数 a 】

(b ?1)= (b ?1)+1；【把b ?1当成一个整体】 （a(b ?1)? (b ?1)=1；【把含有b ?1的项移到左边】 5）

（6）(a ?1)(b ?1)=1．【提公因数b ?1】 我们发现 ab = a + b 化简后变成 (a ?1)(b ?1)=1，也就是只要满足 (a ?1)(b ?1)=1 的

（4） a两个数，它们的乘积就与和数相等．也就是：

2× 2 = 2 + 2 1.2× 6 =1.2 + 6 1.5×3 =1.5 + 3

变成 变 变成

(2 ?1)×(2 ?1)=1，

(1.2 ?1)×(6 ?1)=1， (1.5 ?1)×(3 ?1)=1．

如果要求 a 和 b 都是整数，则 a ?1 和 b ?1 都是 1 的约数，于是 a ?1= b ?1=1，所 以 a = b = 2 ，也就是两自 数的和与积相等的情形只有唯一一种：2× 2 = 2 + 2 ．如果不 要求 a 、 b 是自然数，则两数和与积相等的算式还可以写出无限多组．例如：把 1 看成是

?a ? =

1 0.4，

0.4× 2.5 ，则

? ? = 解得 ?

b 1 2.5，

?a =1.4， ? = 就写出一个算式1.4×3.5 =1.4 + 3.5 ． ?

b 3.5，

例题 1

自 然 数 12 和 60 是 一 对 很 有 趣 的 数， 它 们 的 积

12× 60 = 720 ，恰好是12 + 60 = 72 的 10 倍，满足上述条件的自然数对还有 哪些？请再举出 3 对．

分析 两个自然数的和与积相等，则只能是 2× 2 = 2 + 2 ，只有唯一一组．而现

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在乘积要是和的 10 倍，这样的自然数会有多少组呢 ? 131

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