(京津专用)2020高考数学总复习 优编增分练：8+6分项练13 导数 文

2019年

1

则当a>时，h′(a)＝2＋ln a＝1＋(1＋ln a)>0，

e

?1?所以h(a)在?，＋∞?上单调递增， ?e??1?又h??＝0，h(e)＝2e,0

?e??1?得h??

1

所以

e

?1?2

8．(2018·四川省成都市第七中学模拟)设函数f(x)＝x－xln x＋2，若存在区间[a，b]??，＋∞?，使f(x)

?2?

在[a，b]上的值域为[k(a＋2)，k(b＋2)]，则k的取值范围是( )

?9＋2ln 2?

A.?1，?4???9＋2ln 2? C.?1，?10??

答案 C

?9＋2ln 2?

B.?1，?4???9＋2ln 2? D.?1，?10??

1

解析 由题意得f′(x)＝2x－ln x－1，设g(x)＝f′(x)，则g′(x)＝2－(x>0)．

x11

当x≥时，g′(x)＝2－≥0，

2x?1?所以函数g(x)＝f′(x)在?，＋∞?上单调递增，

?2?

1?1??1?所以当x∈?，＋∞?时，f′(x)≥f′??＝－ln>0，

2?2??2?

?1?所以f(x)在?，＋∞?上单调递增，

?2??1?因为[a，b]??，＋∞?， ?2?

所以f(x)在[a，b]上单调递增，

因为f(x)在[a，b]上的值域为[k(a＋2)，k(b＋2)]，

??f?a?＝k?a＋2?，

所以?

?f?b?＝k?b＋2?，?

?1?所以方程f(x)＝k(x＋2)在?，＋∞?上有两解a，b，

?2?

作出y＝f(x)与直线y＝k(x＋2)的函数图象，则两图象有两个交点，

2019年

?191?若直线y＝k(x＋2)过点?，＋ln 2?， ?242?

9＋2ln 2

则k＝，

10

若直线y＝k(x＋2)与y＝f(x)的图象相切， 设切点为(x0，y0)

y0＝k?x0＋2?，??2

则?y0＝x0－x0ln x0＋2，??2x0－ln x0－1＝k，

2

解得k＝1，

?9＋2ln 2?. 数形结合可知，实数k的取值范围是?1，?10??

9．(2018·昆明模拟)已知函数f(x)＝(x－2x)e－aln x(a∈R)在区间(0，＋∞)上单调递增，则a的最大值是________． 答案 －e

解析 因为函数f(x)＝(x－2x)e－aln x(a∈R)， 所以f′(x)＝e(x－2x)＋e(2x－2)－ ＝e(x－2)－(x>0)．

因为函数f(x)＝(x－2x)e－aln x(a∈R)在区间(0，＋∞)上单调递增，

所以f′(x)＝e(x－2)－≥0在区间(0，＋∞)上恒成立，即≤e(x－2)在区间(0，＋∞)上恒成立， 亦即a≤e(x－2x)在区间(0，＋∞)上恒成立， 令h(x)＝e(x－2x)，x>0，则

x3

2

2

xxx2xaxx2

axxx2

axaxx2

x3

h′(x)＝ex(x3－2x)＋ex(3x2－2)

＝e(x－2x＋3x－2)＝e(x－1)(x＋4x＋2)，x>0， 因为x∈(0，＋∞)，所以x＋4x＋2>0. 因为e>0，令h′(x)>0，可得x>1， 令h′(x)<0，可得0

所以函数h(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，在区间(0,1)上单调递减． 所以h(x)min＝h(1)＝e(1－2)＝－e. 所以a≤－e.

所以a的最大值是－e.

1

2

x32x2

x 2019年

10．若曲线C1：y＝ax(a>0)与曲线C2：y＝e存在公共切线，则a的取值范围为________．

2x?e?答案 ?，＋∞? ?4?

tam2－ete

解析 设公共切线在曲线C1，C2上的切点分别为(m，am)，(t，e)，则2am＝e＝，所以m＝2t－2，a＝

m－t4?t－1?

2

2

ttee?t－2?

(t>1)，令f(t)＝(t>1)，则f′(t)＝2，则当t>2时，f′(t)>0；当1

4?t－1?4?t－1?ee

f(t)≥f(2)＝，所以a≥. 44

11．(2018·河南省豫南九校联考)若f(x)＝3xf′(1)－2x，则f′(0)＝________. 答案 6

解析 由题意得f′(x)＝3f′(1)－4x， ∴f′(1)＝3f′(1)－4，∴f′(1)＝2， ∴f′(x)＝6－4x， ∴f′(0)＝6－4×0＝6.

12．(2018·烟台模拟)已知直线2x－y＋1＝0与曲线y＝ln x＋a相切，则实数a的值是________． 答案 2＋ln 2

1

解析 由y＝ln x＋a求导得y′＝，

2

2

2

ttx设切点是(x0，ln x0＋a)， 1

则y′＝＝2，

x0

1

故x0＝，ln x0＝－ln 2，

2

?1?切点是?，－ln 2＋a?，代入直线方程得 ?2?

1

2×＋ln 2－a＋1＝0， 2解得a＝2＋ln 2.

13．(2018·峨眉山市第七教育发展联盟模拟)对于函数y＝f(x)，若其定义域内存在两个不同的实数x1，x2，使e

得xif(xi)＝1(i＝1,2)成立，则称函数f(x)具有性质P，若函数f(x)＝具有性质P，则实数a的取值范围是

xa________．

?1?答案 ?－，0? ?e?

e

解析 若函数f(x)＝具有性质P，

xa则xf(x)＝1 有两个不等实数根，

2019年

e

代入得xf(x)＝x·＝1，

xa即a＝x·e在R上有两个不等实数根． 令g(x)＝xe，

则g′(x)＝xe＋e＝e(1＋x)，令g′(x)＝0， 得x＝－1，

当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表所示：

xxxxxx g′(x) g(x)

根据表格，画出如图所示的函数图象

(－∞，－1) － －1 0 1极小值－ e(－1，＋∞) ＋

由图象可知，a＝x·e在R上有两个不等实数根， 即y＝a与g(x)的图象有两个不同交点， 1

由极小值g(－1)＝－可知，

e

x?1?当有两个交点时，a的取值范围为?－，0?. ?e?

e＋ex14．已知函数f(x)＝－x－6x－3，g(x)＝，实数m，n满足m

ex2

x使得f(x1)＝g(x2)成立，则n－m的最大值为________． 答案 4

e＋exe?x－1?x解析 因为g(x)＝，所以g′(x)＝，分母恒大于0，且e>0，由题意讨论x>0即可，则当0

exex时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x>1时，g′(x)>0，g(x)单调递增，所以g(x)min＝g(1)＝2.

xxf(x)＝－(x＋3)2＋6≤6，作函数y＝f(x)的图象如图所示，当f(x)＝2时，方程－(x＋3)2＋6＝2的两根分别为

－5和－1，则n－m的最大值为－1－(－5)＝4.