第一章 习题参考答案与提示

第一章 习题参考答案与提示

第一章 随机事件与概率习题参考答案与提示

1． 设为三个事件，试用表示下列事件，并指出其中哪两个事件是互逆事件： CBA、、CBA、、

（1）仅有一个事件发生； （2）至少有两个事件发生； （3）三个事件都发生； （4）至多有两个事件发生； （5）三个事件都不发生； （6）恰好两个事件发生。

分析：依题意，即利用事件之间的运算关系，将所给事件通过事件表示出来。CBA、、

解：（1）仅有一个事件发生相当于事件CBACBACBA、、有一个发生，即可表示成CBACBACBA∪∪； 类似地其余事件可分别表为

（2）或ACBCAB∪∪ABCCBABCACAB∪∪∪；（3）；（4）ABCABC或CBA∪∪；（5）CBA；（6）CBABCACAB∪∪或。ABCACBCAB?∪∪

由上讨论知，（3）与（4）所表示的事件是互逆的。

2．如果表示一个沿着数轴随机运动的质点位置，试说明下列事件的包含、互不相容等关系： x

{}20|≤=xxA {}3|>=xxB{}9|<=xxC {}5|?<=xxD {}9|≥=xxE

解：（1）包含关系： 、 ACD??BE? 。

（2）互不相容关系：C与E（也互逆）、B与、DE与。 D 3．写出下列随机事件的样本空间：

（1）将一枚硬币掷三次，观察出现H（正面）和T（反面）的情况； （2）连续掷三颗骰子，直到6点出现时停止, 记录掷骰子的次数； （3）连续掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和；

（4）生产产品直到有10件正品时停止，记录生产产品的总数。 提示与答案：（1）； {}TTTTTHTHTHTTTHHHTHHHTHHH,,,,,,,=Ω （2）； {",,2,1=Ω } （3）； {}18,,4,3",=Ω （4）。 {}",,11,10=Ω

4．设对于事件有CBA、、=)(AP4/1)()(==CPBP, ， 8/1)(=ACP

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0)()(==BCPABP，求至少出现一个的概率。CBA、、

提示与答案：至少出现一个的概率即为求，可应用性质4及性质5得CBA、、)(CBAP∪∪()PABC 5 / 8 =∪∪

5．设A、B为随机事件，3.0)(7.0)(=?=BAPAP，，求)(ABP。

提示与答案：欲求)(ABP，由概率性质3可先计算，由于，且)(ABP)(BAABA?=∪

φ=?)(BAAB∩。解得6.04.01)(1)(=?=?=ABPABP。

6．已知事件、AB满足PABPAB()(=∩ )且3/1)(=AP，求PB()。 解法一：由性质（5）知PB()=PABPAPAB()()(∪? ) + （性质5） =1??+PABPAPAB()()(∪ ) （性质3） =1??+PABPAPAB()()(∩ ) （对偶原理） =1?PA()=32311=? （已知条件）

解法二：由于PABPAB()() = ∩ =P( A∪ B) = 1? P( A∪ B)

=)()(311ABPBP+??

从而得0)(32=?BP，即32)(=BP

7．一个袋中有5个红球2个白球，从中任取一球，看过颜色后就放回袋中，然后再从袋中任取一球。求：（1）第一次和第二次都取到红球的概率； （2）第一次取到红球，第二次取到白球的概率。

提示与答案：设表示：“第一次和第二次都取到红球”； A B表示：“第一次取到红球，第二次取到白球“。 （1）4925)()()(=Ω=nAnAP （2）4910)()()(=Ω=nBnBP

8．一批产品有8个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个（不放回）。求：（1）两次都取到正品的概率；

（2）第一次取到正品，第二次取到次品的概率；

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（3）第二次取到次品的概率； （4）恰有一次取到次品的概率。

提示与答案：设表示：“第i次取出的是次品”（=1，2），则所求概率依次化为

i

Ai)(21AAP、)(21AAP、)()= ( 2 1 2 1 2 P A P A A ∪ A A 、)(2121AAAAP∪。

（1）)(21AAP2845= （2）)(21AAP845=

（3）)(2AP)()(2121AAPAAP+=15=。

（4）)(2121AAAAP∪)()(2121AAPAAP+=1645=。

9．设有80件产品，其中有3件次品，从中任取5件检查。求所取5件中至少有3件

为正品的概率。

提示与答案：设：“所取5件中至少有3件为正品”；则的对立事件为至多有2件为正品，即：“恰有2件为正品”（最多有3件次品）。 AA ()PA=82158216

10．从5双不同的鞋子中任取4只，求4只鞋子至少有2只配成一双的概率。 提示与答案：直接求4只鞋子至少有2只配成一双的概率不易得到正确的结果，这是由于所考虑事件比较复杂，解决此类问题的方法通常是利用概率性质3，即先求逆事件的概率。13()21PA=

11．假设每个人的生日在一年365天都是等可能的，那么随机选取个人，求他们的生日各不相同的概率及这个人至少有两个人生日在同一天的概率；若n，求上述两个事件的概率。)365(≤nn=40 提示与答案：此问题属于占位问题。可设A表示事件：“个人的生日各不相同”；nB表示事件：“这个人至少有两个人生日在同一天”。nnnAAP365)(365=， 365()1365nnAPB=?。

若取，则，40=n()0.109PA≈()0.891PB=

12．某进出口公司外销员与外商约谈，两人相约某天8点到9点在预定地点

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会面，先到者要等候另一个人20分钟，过时就离去，若每人在这指定的一个小时内任一时刻到达是等可能的，求事件={两人能会面}的概率。 A 提示与答案：设分别表示两人到达预定地点的时刻，那么两人到达时间的可能结果对应边长为60的正方形里所有点，如图， xy、5()9PA=

13．设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时被打破的概率为3/10，第二次落下时被打破的概率为1/2，第三次落下时被打破的概率为9/10，试求透镜落下三次未打破的概率。

提示与答案：解决此问题的关键在于正确理解题意，弄清概率1/2、9/10的具体含义。依题意“第二次落下时被打破的概率为1/2”指的是第一次落下未被打破的情况下，第二次落下时被打破的概率；概率9/10的含义类似。可设表示“落下三次未被打破”，A()PA=7200

14．由长期统计资料得知，某一地区在4月份下雨（记作事件）的概率为4/15，刮风（记作事件A

B ）的概率为7/15，刮风又下雨（记作事件）的概率为1/10。求， ，。 C

P(A | B) P A) P(A B) |(B∪

提示与答案：3(|)14PAB=，3(|)8PBA=， 19()30PAB=∪。

15．设、AB为随机事件，若6.0)(5.0)(==BPAP，，，求： 8.0)|(=ABP （1）；（2） 。 )(ABP)(BAP∪

提示与答案：该题主要是考查条件概率公式、乘法公式及概率性质的应用。 （1）； （2）()0.PAB= 4 .7 ()0PAB=∪。

16．一机床有1/3的时间加工零件A，其余时间加工零件B，加工零件A时，停机

的概率是3/10，加工零件B时，停机的概率是4/10，求这台机床停机的概率。 提示与答案：依题意，这是一全概率问题。若设A事件表示：“加工零件A”；B事件表示：“加工零件B；C事件表示：“机床停机”。则。()11/30PC=

17．有两个口袋，甲袋中盛有2个白球1个黑球；乙袋中盛有1个白球2个黑球。由甲袋任取一球放入乙袋，再从乙袋中取出一球，求取到白球的概率。

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提示与答案：依题意，这是一全概率问题，因为从乙袋中取出一球是白球有两个前提，即由甲袋任取一球放入乙袋有两种可能（由甲袋任取出的球可能是白球，也可能是黑球），并且也只有这两种可能。因此若把这两种可能看成两个事件，这两个事件的和事件便构成了一个必然事件。

若设A表示：“由甲袋取出的球是白球”；B表示：“由甲袋取出的球是黑球”；表示：“从乙袋取出的球是白球”。则C()5/12PC=。

18．设有一箱同类产品是由三家工厂生产的，其中21是第一家工厂生产的，其余两家各生产41，又知第一、二家工厂生产的产品有2%的次品，第三家工厂生产的产品有4%的次品，现从箱中任取一只，求： （1）取到的是次品的概率；

（2）若已知取到的是次品，它是第三家工厂生产的概率。

提示与答案：设事件表示：“取到的产品是次品”；事件表示：“取到的产品是第i家工厂生产的”（i）。则AiA=123，， （1） ； ()0.025PA= （2） 。 3(|)0.4PAA=

19．某专门化医院平均接待K型病患者50%，L型病患者30%，M型病患者20%，而治愈率分别为7/10、8/10、9/10。今有一患者已治愈，问此患者是K型病的概率是多少？

提示与答案：依题意，这是一全概率公式及贝叶斯公式的应用问题，解决问题的关键是找出一组两两互斥事件。

解：设事件A表示：“一患者已治愈”；事件i（A321，，=i）表示：“患者是K、L 、M型病的”。则得77()100PA=； )|(1AAP511= 。

20．三个人独立地破译一个密码，他们能单独译出的概率分别为1/5、1/3、1/4，求此密码被译出的概率。

提示与答案：设事件A表示：“此密码被译出”；应用概率性质3及事件独立性得3()5PA=

21．若)|()|(BAPBAP=，证明事件相互独立。BA与事件 提示与答案：应用BAABA∪=，且φ=BAAB∩。

22．一个系统由三个元件按图所示方式连接而成，设每个元件能正常工作的

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概率（即元件的可靠性）均为 A r(0<<)1 r；求系统的可靠性。 （设三个元件能否正常工作是 C 相互独立的）。B

提示与答案：此问题是考查事件间的关系及独立性的应用。

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()(2PACBCrr) =?∪

23．设事件A与B相互独立，已知5.0)(=AP，8.0)(=BAP，求 ∪ )(BAP，)(BAP∪。 提示与答案：考查概率性质与事件的独立性的应用()0.PAB= 2； ()0.7PAB=∪。 24．已知3.0)(=AP，4.0)(=BP，5.0)(=BAP，求))(|(BABP∪。

提示与答案：由)())(())(|(BAPBABPBABP∪∪∪=，因此转化为计算概率))((BABP∪及)(BAP∪，进而解得1(|())4PBAB=∪。

25．随机地向半圆220xaxy?<<（为正常数）内掷一点，若该点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点和该点的连线与ax轴的夹角小于4/π的概率。

提示与答案：这是一个几何概型的概率计算问题，如图所示。若设事件A：“表示掷的点和原点的连线与x轴的夹角小于4/π”；。11()2PAπ=+

26．设有来自三个地区的各10名、15名、25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份、5份。随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份，求：（1）先抽到的一份是女生表的概率； p

（2）已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q。

提示与答案：依题意，所有报名表来自三个地区，因此随机地取一个地区的报名表，抽到各个地区的报名表的概率应是相等的；若从中先后抽出两份，则（1）可用全概率公式求得；（2）是一个条件概率。若设设（iB），21=i表示“第i次抽到的一份是女生表”；（i表示“抽到的报名表来自第i个地区”。得iA），，321=

（1）129()90PB=)；

（2）261()90PB=， 1220(|)61PBB=。 6__