四川省高考数学试卷(文科)

（Ⅱ）设出直线方程，与椭圆方程联立，求出弦长及AB中点坐标，得到OM所在直线方程，再与椭圆方程联立，求出C，D的坐标，把︳MA︳?︳MB︳化为距离公式求得︳MC︳?︳MD︳的值得答案． 【解答】（Ⅰ）解：如图，

，再由两点间的

由题意可得，解得a=4，b=1，

22

∴椭圆E的方程为；

，

（Ⅱ）证明：设AB所在直线方程为y=

联立

2

，得x+2mx+2m﹣2=0．

2

2

22

∴△=4m﹣4（2m﹣2）=8﹣4m＞0，即设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）， 则|AB|=

．

∴x0=﹣m，

，即M（

，

），

，

=

．

则OM所在直线方程为y=﹣

联立，得或．

∴C（﹣，），D（，﹣）．

=

（10﹣5m）=

2

则︳MC︳?︳MD︳==

而︳MA︳?︳MB︳=

．

．

∴︳MA︳?︳MB︳=︳MC︳?︳MD︳．

【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线位置关系的应用，训练了弦长公式的应用，考查数学转化思想方法，训练了计算能力，是中档题．

21．（14分）（2016?四川）设函数f（x）=ax﹣a﹣lnx，g（x）=﹣

2

，其中a∈R，e=2.718…

为自然对数的底数．

（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）证明：当x＞1时，g（x）＞0；

（Ⅲ）确定a的所有可能取值，使得f（x）＞g（x）在区间（1，+∞）内恒成立．

【考点】利用导数研究函数的单调性；函数奇偶性的判断；导数在最大值、最小值问题中的应用．

【专题】综合题；转化思想；综合法；导数的综合应用． 【分析】（Ⅰ）求导数，分类讨论，即可讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）要证g（x）＞0（x＞1），即﹣＞0，即证，也就是证；

（Ⅲ）由f（x）＞g（x），得=

，设t（x）

，由题意知，t（x）＞0在（1，+∞）内恒成立，再构造函数，

求导数，即可确定a的取值范围．

【解答】（Ⅰ）解：由f（x）=ax﹣a﹣lnx，得f′（x）=2ax﹣=

2

（x＞0），

当a≤0时，f′（x）＜0在（0，+∞）成立，则f（x）为（0，+∞）上的减函数； 当a＞0时，由f′（x）=0，得x=∴当x∈（0，则f（x）在（0，

=

，

，+∞）时，f′（x）＞0， ，+∞）上为增函数；

）上为

）时，f′（x）＜0，当x∈（

）上为减函数，在（

综上，当a≤0时，f（x）为（0，+∞）上的减函数，当a＞0时，f（x）在（0，减函数，在（

，+∞）上为增函数；

（Ⅱ）证明：要证g（x）＞0（x＞1），即﹣＞0，

即证，也就是证，

令h（x）=，则h′（x）=，

∴h（x）在（1，+∞）上单调递增，则h（x）min=h（1）=e， 即当x＞1时，h（x）＞e，∴当x＞1时，g（x）＞0； （Ⅲ）解：由f（x）＞g（x），得设t（x）=

，

，

由题意知，t（x）＞0在（1，+∞）内恒成立， ∵t（1）=0， ∴有t′（x）=2ax

=

≥0在（1，+∞）内恒成立，

令φ（x）=，

则φ′（x）=2a

当x≥2时，φ′（x）＞0， 令h（x）=

1﹣x

=，

，h′（x）=

，函数在[1，2）上单调递增，∴h（x）min=h（1）=﹣1．

又2a≥1，e＞0，∴1＜x＜2，φ′（x）＞0，

综上所述，x＞1，φ′（x）＞0，φ（x）在区间（1，+∞）单调递增， ∴t′（x）＞t′（1）≥0，即t（x）在区间（1，+∞）单调递增， ∴a≥．

【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，不等式的证明，考查恒成立成立问题，正确构造函数，求导数是关键．