考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)知识 方法篇 专题6 立体几何与空间向量 第26练

第26练 空间几何体的三视图及表面积与体积

[题型分析·高考展望] 三视图是高考的热点和重点.其考查形式多种多样，选择题、填空题和综合解答题都有出现，而这些题目以选择题居多；立体几何中的计算问题考查的知识，涉及到三视图、空间几何体的表面积和体积以及综合解答和证明.

体验高考

1.(2015·陕西)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )

A.3π B.4π C.2π＋4 D.3π＋4 答案 D

解析 由三视图可知原几何体为半圆柱，底面半径为1，高为2，则表面积为 11

S＝2×π×12＋×2π×1×2＋2×2

22＝π＋2π＋4＝3π＋4.

2.(2016·课标全国乙)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π

，则它的表面积是( ) 3

A.17π B.18π C.20π D.28π 答案 A

解析 由题意知，该几何体的直观图如图所示，它是一个球(被过球心O且互相垂直的三个171

平面)切掉左上角的后得到的组合体，其表面积是球面面积的和三个圆面积之和，由几何

88471

体的体积易得球的半径为2，则得S＝×4π×22＋3×π×22＝17π，故选A.

84

3.(2016·北京)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )

111

A. B. C. D.1 632答案 A

解析 由三视图知，三棱锥如图所示.由侧(左)视图得高h＝1，

11又底面积S＝×1×1＝，

2211

所以体积V＝Sh＝.

36

4.(2016·四川)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正(主)视图如图所示，则该三棱锥的体积是________.

答案

3 3

解析 由题意可知，因为三棱锥每个面都是腰为2的等腰三角形，由正(主)视图可得俯视图(如图)，

且三棱锥高为h＝1，

1113

×23×1?×1＝. 则面积V＝Sh＝×??33?23

5.(2016·浙江)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是______cm2，体积是________cm3.

答案 72 32

解析 由三视图可知，该几何体为两个相同长方体的组合，长方体的长、宽、高分别为4 cm、2 cm、2 cm，其直观图如下：

其体积V＝2×2×2×4＝32(cm3)，由于两个长方体重叠部分为一个边长为2的正方形，所以表面积为S＝2(2×2×2＋2×4×4)－2×2×2＝2×(8＋32)－8＝72(cm2).

高考必会题型

题型一 三视图识图

例1 (1)在如图所示的空间直角坐标系Oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)，给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正(主)视图和俯视图分别为( )

A.①和② B.③和① C.④和③ D.④和②

(2)将正方体(如图①所示)截去两个三棱锥，得到如图②所示的几何体，则该几何体的侧(左)视图为( )

答案 (1)D (2)B

解析 (1)由三视图可知，该几何体的正(主)视图是一个直角三角形(三个顶点的坐标分别是(0，0，2)，(0，2，0)，(0，2，2))且内有一虚线(一顶点与另一直角边中点的连线)，故正(主)视图是④；俯视图即在底面的射影是一个斜三角形，三个顶点的坐标分别是(0，0，0)，(2，2，0)，(1，2，0)，故俯视图是②.

(2)还原正方体后，将D1，D，A三点分别向正方体右侧面作垂线.D1A的射影为C1B，且为实线，B1C被遮挡应为虚线.

点评 画法规则：(1)由几何体的轮廓线定形状，看到的画成实线，看不到的画成虚线. (2)正(主)俯一样长，俯侧(左)一样宽，正(主)侧(左)一样高.

变式训练1 一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是( )

答案 B

解析 该几何体是组合体，上面的几何体是一个五面体，下面是一个长方体，且五面体的一个面即为长方体的一个面，五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等，