2019年中考数学压轴题专项培优训练：二次函数综合题

参考答案

1．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0） ∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3 ∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3

（2）过点D作DM∥y轴，交BC于点M ∵当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3 ∴C（0，3）

∴直线BC解析式为y＝﹣x+3 ∵点D的横坐标为m（0＜m＜3） ∴D（m，﹣m2+2m+3），M（m，﹣m+3） ∴DM＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m

∴s＝OB?DM＝（﹣m2+3m）＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+∴s与m的函数关系式为s＝﹣m2+m，s的最大值为

（3）存在点D，使得以C、D，F三点为顶点的三角形与△CEO相似 如图2，连接BD

∵点E为AB中点，A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3） ∴E（1，0），OE＝1，OC＝3，CD2＝m2+（﹣m2+2m+3﹣3）2 ∴CE＝∴sin∠OCE＝∵BC＝

，cos∠OCE＝，DF⊥BC

．

∴s＝BC?DF＝﹣m2+m

∴DF＝

∵以C、D，F三点为顶点的三角形与△CEO相似，∠CFD＝∠COE＝90° ∴△CFD∽△COE或△CFD∽△EOC

①若△CFD∽△COE，则∠FCD＝∠OCE ∴sin∠FCD＝∴10DF2＝CD2 ∴10（

）2＝m2+（﹣m2+2m）2

解得：m1＝4（舍去），m2＝ ∴﹣m2+2m+3＝﹣∴D（，）

②若△CFD∽△EOC，则∠FDC＝∠OCE ∴cos∠FDC＝∴10DF2＝9CD2 ∴10（

）2＝9[m2+（﹣m2+2m）2]

+5+3＝

解得：m1＝0（舍去），m2＝ ∴﹣m2+2m+3＝﹣+3+3＝∴D（，

）

）．

∴点D的坐标为（，）或（，

2．解：（1）令y＝0，得﹣x2﹣2x+3＝0，解方程得x1＝1，x2＝﹣3， ∴A（﹣3，0），B（1，0） 令x＝0，得y＝3 ∴C（0，3）

（2）当点D是OA的中点时，点D（﹣，0），Q（∵直线AC的解析式为y＝x+3 ∴P（﹣，） ∴PQ＝

（3）①如图，作PF⊥CO

，

），

设D（m，0），则P（m，m+3），Q （m，﹣m2﹣2m+3）

PQ+PC＝（﹣m2﹣2m+3）﹣（m+3）+（﹣m）═﹣（m+2）2+4

PC有最大值4

∴当m＝﹣2时，PQ+

②当PE＝CQ，且PE与CQ不平行时

∵∠QCM＝∠BPD，∠CMQ＝∠PDB＝90° ∴△CQM∽△PBD（AA） ∴∴解得m1＝

（舍去），m2＝

当PE＝CQ，PE∥CQ时

∵∠QFC＝∠PDB，∠CQF＝∠BPD ∴△QFC∽△PDB ∴∴

解得m＝﹣1

综上所述，m的值为﹣1或﹣

＝2．

3．解：（1）抛物线y＝﹣x2+4x的对称轴为直线x＝∵点A的横坐标为1．代入y＝﹣x2+4x得：y＝3，

∴A（1，3），由抛物线的对称性得：点B的坐标为（3，3）．