湖南师大附中2019-2020学年高三月考试卷(七)数学(理)试卷(含答案)

由ρ＝23sin θ，得ρ＝23ρsin θ.将ρ＝x＋y，ρsin θ＝y代入，得x2＋y2＝23y，

所以曲线C2的直角坐标方程是x2＋y2－23y＝0.(5分)

?x＝tcos α，

(2)解法一：设直线l的倾斜角为α，则l的参数方程为?(t为参数，

?y＝tsin α且t≠0). (6分)

2

将l的参数方程代入曲线C1的普通方程，得t－2tcos α＝0，则tA＝2cos α.(7分)

将l的参数方程代入曲线C2的直角坐标方程，得t2－23tsin α＝0，则tB＝23sin α.(8分)

π????

所以|AB|＝|tA－tB|＝|2cos α－23sin α|＝4?cos?α＋??，(9分)

3????π??π??

据题意，直线l的斜率存在且不为0，则α∈?0，?∪?，π?，

2??2??

2π

所以当α＝，即k＝tan α＝－3时，|AB|取最大值，且|AB|max＝4.(10分)

3解法二：设直线l的倾斜角为α，则l的极坐标方程为θ＝α(ρ≠0)．(6分) 设点A，B的极坐标分别为A(ρ1，α)，B(ρ2，α)，则ρ1＝2cos α，ρ2＝23sin α.(8分)

π????

α＋????.(9分) 所以|AB|＝|ρ1－ρ2|＝|2cos α－23sin α|＝4cos

3????π??π??

据题意，直线l的斜率存在且不为0，则α∈?0，?∪?，π?，

2??2??

2π

所以当α＝，即k＝tan α＝－3时，|AB|取最大值，且|AB|max＝4.(10分)

3解法三：将y＝kx(x≠0)代入曲线C1的普通方程，得x2＋k2x2－2x＝0(x≠0)，则xA

＝

2

.(6分) k＋1

2

2222

13 / 15

将y＝kx(x≠0)代入曲线C2的直角坐标方程，得x＋kx－23kx＝0(x≠0)，则xB

23k＝2.(7分) k＋1

所以|AB|＝|xA－xB|·

k2＋1＝|

223k

－2|·k＋1k＋1

2

222

k2＋1＝

2|3k－1|

＝

k2＋1

2

（3k－1）2

(k≠0)．(8分)

k2＋1

（3k－1）2令＝m，则(m－3)k2＋23k＋m－1＝0. 据题意，该方程有非零实数解， 2

k＋1?m≠3，

则m＝3或?解得0≤m≤4，所以|AB|＝2m≤4.(9

?Δ＝12－4（m－3）（m－1）≥0，

分)

当m＝4时，k2＋23k＋3＝0，即(k＋3)2＝0，得k＝－3. 所以当k＝－3时，|AB|取最大值，且|AB|max＝4.(10分) 23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f(x)＝|x－5|.

(1)解不等式：f(x)＋f(x＋2)≤3；

(2)若a<0，求证：f(ax)－f(5a)≥af(x)．

【解析】(1)不等式化为|x－5|＋|x－3|≤3.(1分) 5

当x<3时，原不等式等价于－2x≤－5，即≤x<3；(2分)

2当3≤x≤5时，原不等式等价于2≤3，即3≤x≤5；(3分) 当x>5时，原不等式等价于2x－8≤3，即5

综上，原不等式的解集为?，?.(5分)

?22?

(2)证明：由题意得

f(ax)－af(x)＝|ax－5|－a|x－5|＝|ax－5|＋|－ax＋5a|≥|ax－5－ax＋5a|＝|5a－5|＝f(5a)，

所以f(ax)－f(5a)≥af(x)成立．(10分).org 14 / 15

11

.(4分) 2

15 / 15