(4份试卷汇总)2019-2020学年宁波市中考第四次模拟数学试题

25．（1）△ABC和△CDE是两个等腰直角三角形，如图1，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，连结AD、BE，求证：△ACD≌△BCE．

（2）△ABC和△CDE是两个含30°的直角三角形，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝30°，CD＜AC，△CDE从边CD与AC重合开始绕点C逆时针旋转一定角度α（0°＜α＜180°）； ①如图2，DE与BC交于点F，与AB交于点G，连结AD，若四边形ADEC为平行四边形，求

BG的值； AG②若AB＝10，DE＝8，连结BD、BE，当以点B、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，求BE的长．

【参考答案】*** 一、选择题

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C C A B C C D C B C 二、填空题 13．1 14．

C B 64m 1515．（-2，-2） 16．5 17．x≥-3 18．a(a?2) 三、解答题

19．(1)EP＝EQ，理由见解析；（2）①EQ＝2EP，理由见解析；②S?【解析】 【分析】

（1）连接BE，根据已知条件得到E是AC的中点，根据等腰直角三角形的性质可以证明BE=CE，∠PBE=∠C，根据等角的余角相等可以证明∠BEP=∠CEQ，即可得到全等三角形，从而证明结论；

（2）①作EM⊥AB于点M，EN⊥BC于点N，证明△MEP∽△NEQ，发现EP：EQ=ME-NE=AE：CE，继而得出结果；

②设EQ=x，根据上述结论，可用x表示出S，确定EQ的最大值，及最小值后，可得出x的取值范围． 【详解】

（1）连接BE，如图2：

212x(102剟x103). 4

证明：∵点E是AC的中点，△ABC是等腰直角三角形， ∴BE＝EC＝AE，∠PBE＝∠C＝45°， ∵∠PEB+∠BEQ＝∠QEC+∠BEQ＝90°， ∴∠PEB＝∠QEC， 在△BEP和△CEQ中，

??BEP??CEQ?， ?BE?CE??PBE??C?∴△BEP≌△CEQ（ASA）， ∴EP＝EQ．

（2）①作EM⊥AB于点M，EN⊥BC于点N，如图3：

∵∠A＝∠C＝45°， ∴EM＝AM，EN＝CN，

∵∠MEP+∠PEN＝∠NEQ+∠PEN＝90°， ∴∠MEP＝∠NEQ，

又∵∠EMP＝∠ENQ＝90°， ∴△MEP∽△NEQ，

∴EP：EQ＝ME：NE＝ME：CN＝AE：CE＝1：2， 故EQ＝2EP；

②设EQ＝x，由①得，EP＝∴S△EPQ＝

1x， 211EP×EQ＝x2， 243＝103， 32＝102， 2当EQ＝EF时，EQ取得最大，此时EQ＝DE×tan30°＝30×

当EQ⊥BC时，EQ取得最小，此时EQ＝EC×sin45°＝20×即102?x?103， 综上可得：S＝【点睛】

12

x（102≤x≤103）． 4本题考查了几何变换综合题，涉及了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的

判定与性质，综合考察的知识点较多，对于此类综合性较强的题目，关键还是需要同学们有扎实的基本功，注意培养自己的融会贯通能力．

7aba2?b220．（1）；（2）；（3）10?1.

2210a?b【解析】 【分析】

（1）求出BE，BD即可解决问题． （2）利用勾股定理，面积法求高CD即可． （3）根据CD＝3DE，构建方程即可解决问题． 【详解】

解：（1）在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，a＝3，b＝4， ∴?AB?a2?b2?5,cosB?BC3?． AC5∵CD，CE是斜边AB上的高，中线， ∴∠BDC＝90°，BE?∴在Rt△BCD中，

15AB?． 2239BD?BC?cosB?3??

55?DE?BE?BD?597??（2）在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b， 2510?AB?BC2?AC2?a2?b2 QSVABC?11AB?CD?AC?BC 22AC?BCababa2?b2aba2?b2故答案为：． ?CD???222222ABa?ba?ba?b（3）在Rt△BCD中，BD?BC?cosB?a?aa?b22?a2a?b22，

122a2b2?a2a?b??∴DE?BE?BD?，

22222a?b2a?b又tan?DCE?∴CD＝3DE，即∵b＝3，

∴2a＝9﹣a2，即a2+2a﹣9＝0．

由求根公式得a??1?10（负值舍去）， 即所求a的值是10?1． 【点睛】

本题考查解直角三角形的应用，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

DE1?， CD3aba?b22?3?b2?a22a?b22．

21．

22, x?19【解析】 【分析】

根据分式的运算法则即可求出答案． 【详解】

2x2(x?2)(x?1)2??解：原式＝ x?1(x?1)(x?1)x?2??2x2x?2? x?1x?12 x?12. 9当x＝8时， 原式＝

【点睛】

本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型． 22．4?23 【解析】 【分析】

先根据已知条件得出△PDE的边长，再根据对称的性质可得出PF⊥DE，DF＝EF，锐角三角函数的定义求出PF的长，由m＝3求出MF的长，再根据相似三角形的判定定理判断出△PFM∽△PON，利用相似三角形的性质即可得出结论． 【详解】

∵AB＝3，△PDE是等边三角形， ∴PD＝PE＝DE＝1，

以DE的垂直平分线为y轴建立直角坐标系， ∵△PDE关于y轴对称， ∴PF⊥DE，DF＝EF，DE∥x轴， ∴PF＝

3， 2∴△PFM∽△PON， ∵m＝3， ∴FM＝3﹣3， 233PFFM3??∴，即2＝2， OPONON2解得：ON＝4﹣23． 故答案为：4﹣23． 【点睛】

本题考查的是相似三角形的判定与性质及等边三角形的性质，能根据题意得出FM的长是解答此题的关键．