高中数学选修2-1步步高全书配套课件学案第二章2.2.2-第2课时

第2课时 椭圆的几何性质及应用

学习目标 1.进一步巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆的位置关系等知识.3.会判断直线与椭圆的位置关系.

知识点一 点与椭圆的位置关系

x2y2

思考 类比点与圆的位置关系的判定,你能给出点P(x0,y0)与椭圆2＋2＝1(a>b>0)的位置关系

ab的判定吗？

x2y200【参考答案】当P在椭圆外时,2＋2>1；

abx2y200当P在椭圆上时,2＋2＝1；

abx2y200当P在椭圆内时,2＋2<1. ab

x2y2

梳理 设P(x0,y0),椭圆2＋2＝1(a>b>0),则点P与椭圆的位置关系如下表所示：

ab

位置关系 P在椭圆外 P在椭圆上 P在椭圆内

知识点二 直线与椭圆的位置关系

思考 类比直线与圆的位置关系,给出直线与椭圆的位置关系. 【参考答案】有三种位置关系：相离、相切和相交. 梳理 判断直线和椭圆位置关系的方法

x2y2

直线y＝kx＋m与椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的位置关系的判断方法：

aby＝kx＋m，??22

联立?xy消去y,得关于x的一元二次方程.

＋＝1，22??ab当Δ＞0时,方程有两个不同解,直线与椭圆相交； 当Δ＝0时,方程有两个相同解,直线与椭圆相切；

满足条件 x2y2002＋2>1 abx2y2002＋2＝1 abx2y2002＋2<1 ab

当Δ＜0时,方程无解,直线与椭圆相离. 知识点三 弦长公式

x2y2

设直线l：y＝kx＋m(k≠0,m为常数)与椭圆2＋2＝1(a>b>0)相交,两个交点为A(x1,y1),B(x2,y2),

ab则线段AB叫做直线l截椭圆所得的弦,线段AB的长度叫做弦长.弦长公式：|AB|＝1＋k2·?x1＋x2?2－4x1x2,其中x1＋x2与x1x2均可由根与系数的关系得到.

(1)若直线的斜率一定,则当直线过椭圆的中心时,弦长最大.(√) xx22

(2)直线－y＝1被椭圆＋y＝1截得的弦长为5.(√)

24

x2y2

(3)已知椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)与点P(b,0),过点P可作出该椭圆的一条切线.(×)

abx2y2

(4)直线y＝k(x－a)与椭圆2＋2＝1的位置关系是相交.(√)

ab

类型一 点、直线与椭圆位置关系的判断 命题角度1 点与椭圆位置关系的判断

x2y2

例1 已知点P(k,1),椭圆＋＝1,点在椭圆外,则实数k的取值范围为____________.

94【试题考点】椭圆的简单几何性质 题点 点与椭圆的位置关系

33??33?【参考答案】?－∞，－∪，＋∞ 2??2??k21

解析 由题可知＋>1,

943333

解得k<－或k>.

22引申探究

若将本例中P点坐标改为“P(1,k)”呢？ 42??42?【参考答案】?－∞，－∪，＋∞

3??3??1k232

解析 由＋>1,解得k2>,

9494242

即k<－或k>. 33

反思与感悟 处理点与椭圆位置关系问题时,紧扣判定条件,然后转化为解不等式等问题,注意

求解过程与结果的准确性.

x2y2

跟踪训练1 已知点(3,2)在椭圆2＋2＝1(a>b>0)上,则( )

abA.点(－3,－2)不在椭圆上 B.点(3,－2)不在椭圆上 C.点(－3,2)在椭圆上 D.以上都不正确

【试题考点】椭圆的简单几何性质 题点 点与椭圆的位置关系 【参考答案】C

94

解析 由已知,得2＋2＝1,只有选项C正确.

ab命题角度2 直线与椭圆位置关系的判断

x22

例2 对不同的实数m,讨论直线y＝x＋m与椭圆＋y＝1的位置关系.

4【试题考点】直线与椭圆的位置关系 题点 直线与椭圆的公共点个数问题 y＝x＋m，??2

解 由?x消去y, 2

＋y＝1，??4得5x2＋8mx＋4m2－4＝0,

Δ＝(8m)2－4×5×(4m2－4)＝16×(5－m2). 当－5＜m＜5时,Δ＞0,直线与椭圆相交； 当m＝－5或m＝5时,Δ＝0,直线与椭圆相切； 当m＜－5或m＞5时,Δ＜0,直线与椭圆相离.

反思与感悟 判断直线与椭圆位置关系时,准确计算出判别式Δ是解题关键.

x22

跟踪训练2 在平面直角坐标系xOy中,经过点(0,2)且斜率为k的直线l与椭圆＋y＝1有

2两个不同的交点P和Q,求k的取值范围. 【试题考点】直线与椭圆的位置关系 题点 直线与椭圆的公共点个数问题 解 由已知条件知直线l的方程为y＝kx＋2, x2

代入椭圆方程得＋(kx＋2)2＝1,

212?2

整理得??2＋k?x＋22kx＋1＝0,

12?2＋k＝4k2－2＞0,解得k＜－或直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k2－4??2?2k＞2

, 2

所以k的取值范围为?－∞，－

?

2??2?∪，＋∞. 2??2?

类型二 弦长问题

例3 已知椭圆4x2＋5y2＝20的一个焦点为F,过点F且倾斜角为45°的直线l交椭圆于A,B两点,求弦长|AB|.

【试题考点】直线与椭圆的位置关系 题点 直线与椭圆相交求弦长与三角形面积 x2y2

解 椭圆的标准方程为＋＝1,

54a＝5,b＝2,c＝1,

∴直线l的方程为y＝x＋1(不失一般性,设l过左焦点).

??y＝x＋1，由?2消去y,得9x2＋10x－15＝0. 2

?4x＋5y＝20，?

设A(x1,y1),B(x2,y2), 105则x1＋x2＝－,x1x2＝－,

93

|AB|＝2|x1－x2|＝2·?x1＋x2?2－4x1x2

105810165－?2－4×?－?＝2×＝2·?＝. ?9??3?99

反思与感悟 求解弦长时,需正确记忆公式内容,其次,准确得到x1＋x2和x1x2的值.

x2y23

跟踪训练3 椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为,且椭圆与直线x＋2y＋8＝0相交于P,Q

ab2两点,若|PQ|＝10,求椭圆方程.

【试题考点】由椭圆的简单几何性质求方程 题点 由椭圆的几何特征求方程 解 ∵e＝

31,∴b2＝a2, 24

∴椭圆方程为x2＋4y2＝a2, 与x＋2y＋8＝0联立消去y, 得2x2＋16x＋64－a2＝0, 由Δ＞0,得a2＞32,

5

由弦长公式,得10＝×[64－2(64－a2)],

4