随机过程习题答案

1、 已知X(t)和Y(t)是统计独立的平稳随机过程，且它们的均值分别为mx和my，它们的自

相关函数分别为Rx(?)和Ry(?)。（1）求Z(t)=X(t)Y(t)的自相关函数；（2）求Z(t)=X(t)+Y(t)的自相关函数。 答案：

（1）Rz(?)?E?z(t??)z(t)??E?x(t??)y(t??)x(t)y(t)?

利用x(t)和y(t)独立的性质：Rz(?)?E?x(t??)x(t)?E?y(t??)y(t)???Rx(?)Ry(?) （2）Rz(?)?E?z(t??)z(t)??E??x(t??)?y(t??)???x(t)?y(t)?? ?E?x(t??)x(t)?x(t??)y(t)?y(t??)x(t)?y(t??)y(t)?

仍然利用x(t)和y(t)互相独立的性质：Rz(?)?Rx(?)?2mxmy?Ry(?)

2、 一个RC低通滤波电路如下图所示。假定输入是均值为0、双边功率谱密度函数为n0/2

的高斯白噪声。（1）求输出信号的自相关函数和功率谱密度函数；（2）求输出信号的一维概率密度函数。

电流：i(t)

电压：x(t) R C 电压：y(t)

答案：

（1） 该系统的系统函数为H(s)?Y(s)1? X(s)1?RCs则频率响应为H(j?)?1

1?jRC?n0 2而输入信号x(t)的功率谱密度函数为PX(j?)?该系统是一个线性移不变系统，所以输出y(t)的功率谱密度函数为： PY(j?)?PX(j?)H(j?)?2n0/2 21??RC??2对PY(j?)求傅里叶反变换，就得到输出的自相关函数：

1RY(?)?2?????PY(j?)ej??1d??2?n0/2j?????1??RC?2?2ed?

?

（2） 线性系统输入为高斯随机过程，则输出也一定是高斯的。因此，为了求输

出的一维概率密度函数，仅需知道输出随机过程的均值和方差即可。 均值：已知输入均值mx=0，则输出均值my=mxH(0)=0

2方差：RY(0)?Var(Y)?my

因为均值为0，所以方差Var(Y)?RY(0)?一维PDF：略

12?n0/2???1??RC?2?2d?

?

3、 理想带通滤波器的中心频率为fc、带宽为B，其在通带的频率增益为1。假定输入是均

值为0、双边功率谱密度函数为n0/2的高斯白噪声。（1）求输出信号的自相关函数和功率谱密度函数；（2）求输出信号的平均功率；（3）求输出信号的一维概率密度函数。 答案：类似上一题，仅需注意的是：

(a) 此处滤波器的频率响应为H(j?)???1,?02?(fc?B/2)???2?(fc?B/2)

otherwise(b) 平均功率等于功率谱密度函数的积分，也即等于输出信号y(t)的自相关在??0处

的值，即RY(0)

4、 设x1(t)与x2(t)为零均值且互不相关的平稳随机过程。x1(t)通过某个LTI系统所得的输出

为y1(t)，x2(t)通过同一个LTI系统的输出为y2(t)。试证明y1(t)与y2(t)互不相关。 答案：就是要证明y1(t)与y2(t)的协方差为0。

由于x1(t)与x2(t)为零均值，显而易见y1(t)与y2(t)的均值都为0。 所以，我们仅需要证明y1(t)与y2(t)的互相关为0。

设LTI系统的单位冲激响应为h(t)，则： y1(t)??????x1(t??)h(?)d?

y2(t)??x2(t??)h(?)d?

?? 所以有：

???E?y1(t)y2(t)??E?x1(t??)h(?)d??x2(t?v)h(v)dv????????? ?E?????????x1(t??)x2(t?v)h(?)h(v)d?dv?????12?

????????E?x(t??)x(t?v)?h(?)h(v)d?dv????? 再利用x1(t)与x2(t)互不相关的性质，则有：

E?y1(t)y2(t)????E?x(t??)?E?x(t?v)?h(?)h(v)d?dv?0，从而完成证明。

12?

教材：2.8和2.9题 ?答案略