(统编版)2020高中数学第三章Ⅰ3.2对数与对数函数3.2.1对数及其运算学习导航学案新人教B版必修6

3.2.1 对数及其运算

自主整理 1.对数的概念

b

(1)如果a(a>0,且a≠1)的b次幂等于N，就是a=N，那么数b称为以a为底N的对数，记作logaN=b，其中a称为对数的底，N称为真数;

(2）以10为底的对数称为常用对数，log10N记作lgN；

(3）以无理数e(e=2.718 28…)为底的对数称为自然对数，logeN记作lnN. 2.对数的性质

(1）真数N为正数（负数和零无对数）. (2）loga1=0. (3）logaa=1. (4）对数恒等式：a

logaN=N.

(5)运算性质：如果a>0,a≠1,M>0,N>0,则 ①loga(MN)=logaM+logaN; ②loga

M=logaM-logaN; Nn

③logaM=nlogaM(n∈R). 3.对数的换底公式 一般地,我们有logaN=

logmN(a>0,a≠1,m>0,m≠1,N>0),

logma这个公式称为对数的换底公式. 通过换底公式可推导: (1）logab·logba=1； (2）logamb=

nnlogab. m高手笔记

1.对数的运算法则助记口诀：积的对数变为加，商的对数变为减，幂的乘方取对数，要把指数提到前.

2.对数换底公式口诀：换底公式真神奇，换成新底可任意，原底加底变分母，真数加底变分子.

3.证明对数恒等式，一要注意指数与对数式的互化，二要紧扣对数的定义.

4.使用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，只有各个对数式都存在时，等式才

2

成立.例如：lg（-2）（-3）存在，但lg（-2），lg（-3）不存在，lg（-10）存在，但lg

2

（-10）不存在等.因此不能得出lg（-2）（-3）=lg（-2）+lg（-3），lg（-10）=2lg（-10）. 5.换底公式的证明要紧扣对数的定义，证明的依据是：若M＞0，N＞0，M=N，则logaM=logaN. 名师解惑

1.对数式与指数式有何关系？在对数符号logaN中，为什么规定a＞0，a≠1，N＞0呢？ 我们的口号是：渴望找到真理就是功绩，即使在这条道路上会迷路。——利希顿堡

b

剖析：对数的概念是这么说的：一般地，如果a（a＞0且a≠1）的b次幂等于N，即a=N，那么就称b是以a为底N的对数，记作logaN=b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.从定

b

义不难发现无论是指数式a=N，还是对数式logaN=b都反映的是a、b、N三数之间的关系.

1

在对数符号logaN中，若a＜0，则N为某些值时，logaN不存在，如log（-2）8不存在. 若a＝0，则N不为0时，logaN不存在；N为0时，logaN可以为任何正数，不唯一. 若a＝1，则N不为1时，logaN不存在；N为1时，logaN可以为任何实数，不唯一.

b

因此规定a＞0且a≠1.因为logaN＝ba＝N，在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，因此N＞0.

n

2.式子logaM=nlogaM表明真数的指数可以直接拿到对数式前作系数，那请问：底数的指数也可以直接拿到对数式前作系数吗？若不能，有没有类似性质呢？怎么证明呢？ 剖析：一般不能，比如2=log416=log2216, 而2log216=8≠log2216=2.

但有类似的性质，这个性质是loganM=证明如下：令logaM=x,则M=a. 所以

x

1logaM. n11logaM=x. nn1， n而loganM=loganax=xlogana=x·所以loganM=

n

1logaM. n1logaM的结合使进行对数运算时更加简便快捷，同时也提醒我们nlogaM=nlogaM与loganM=

在进行对数运算过程中，如果运算性质不能直接运用时，可以通过先化成指数式，变形后再化成对数式的方法达到计算的目的. 讲练互动 【例题1】（1）将下列指数式写成对数式： ①2=1024；②10=

3

0

10

-3

1； 1000③0.3=0.027；④e=1.

（2）将下列对数式写成指数式： ①log0.46.25=-2；②lg2=0.301 0； ③log310=2.095 9；④ln23.14=x.

分析:应用指数式与对数式的等价关系求解. 解：（1）①log21 024＝10；②lg

1＝-3； 1000③log0.30.027＝3；④ln1＝0.

-20.301 0

（2）①0.4＝6.25；②10＝2； 2.095 9x③3＝10；④e＝23.14. 绿色通道

b

指数式与对数式之间的换算，就是利用logaN＝b?a＝N. 变式训练

2m-n

1.已知loga2=m，loga3=n，则a=______. 解析：∵loga2=m，loga3=n， mn

∴a=2，a=3.

2

a2m(am)224∴a=n=n==.

3aa32m-n

答案：

4 317+log212?log242.

248【例题2】计算：log2

分析:这是几个对数式的加减运算，注意到每个对数式是同底的，则可以利用同底数的对数

的运算公式化为一个对数式.当然也可以反其道而行之，即把每个对数的真数写成积或商的形式，再利用积或商的对数的运算性质化为同底对数的和与差，然后进行约简.

11（log27-log248）+log23+2log22?（log27+log22+log23） 22111111=log27?log23?log216+log23+2?log27? 2222221=?.

2解法一：原式=解法二：原式=log2(

743×12×

17?6)=?1. 2绿色通道解决这类求值问题一般有两种解法：一是将式中的真数的积、商、幂、方根运用对数的运算法则化为对数的和、差、积、商，即“化整为零”，然后合并、消项、化简求值；二是将式中的对数的和、差、积、商运用对数运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，即“化零为整”，然后“相约”，化简求值. 变式训练

2

2.计算：（1）lg5·lg20+lg2; （2）lg5lg8 000+（lg2（3）2lg5+

3）+lg0.06-lg6;

2

22

lg8+lg5·lg20+lg2. 32

解：（1）原式=lg5（lg4+lg5）+lg2

222

=2lg2·lg5+lg5+lg2=（lg2+lg5）=1; （2）原式=lg5（3+3lg2）+3lg2+lg

2

2

0.06 6=3（1-lg2）（1+lg2）+3lg2-2=3-2=1;

2

（3）原式=2lg5+2lg2+lg5（2lg2+lg5）+lg2

22

=2(lg5+lg2)+lg5+2lg2·lg5+lg2

2

=（lg5+lg2）+2（lg5+lg2） 2

=lg10+2lg10 =1+2 =3.

【例题3】求下列各式的值： （1）8

1?log233；

3

（2）7

lg20

×（

1lg0.7

）； 22?3）+log2（1+2?3）；

（3）log2（1?（4）lg(3?5?3?5).

分析:（1）由幂的运算法则把其化成同底，用对数恒等式a

logaN=N化简计算.

（2）通过取对数，先算出对数值，再求值.

（3）运用对数运算法则化成一个对数，然后利用底数与真数的特殊关系求解. （4）运用对数运算法则巧去根号. 解：（1）8=2

1?3log231?log233=(2)=

1?log2333

2log2271lg0.7lg20

（2）设x=7×（），

2=2

1?log2272=

2. 27则lgx=lg20×lg7+lg0.7×lg（

1） 2=（lg2+1）×lg7+（lg7-1）×（-lg2） =lg7+lg2=lg14， ∴x=14,即7

lg20

×（

1lg0.7

）=14. 2（3）log2（1?2?3）+log2（1?2?3）

22

=log2［（1+2）-（3）］

=log222=log22=

323. 2（4）lg（3?5?3?5）==

12

lg（3?5?3?5） 21lg（3?5?3?5?29?5） 21=lg10 21=. 2绿色通道

有关对数式的运算，除了要用到对数运算性质外，还要注意代数运算的其他性质的运用，如遇到不能直接运用对数运算法则进行运算的问题，有两种解决办法：一是取对数，先求出对数值，再求出真数的值，即为原式的值；二是运用对数恒等式a

logaN=N把任何正数N化成

含所需要的正数为底数的对数的一个幂，即可转化为用幂的运算法则和对数运算法则解决问

4