高考数学大一轮复习高考必考题突破讲座三角函数与平面向量的综合问题课时达标文含解析新人教A版

高考必考题突破讲座 (二)

3

1．(2017·北京卷)在△ABC中，∠A＝60°，c＝a.

7(1)求sin C的值；

(2)若a＝7，求△ABC的面积．

3

解析 (1)在△ABC中，因为∠A＝60°，c＝a，

7所以由正弦定理得sin C＝

csin A3333

＝×＝. a7214

3

(2)因为a＝7，所以c＝×7＝3.

7

1222

由余弦定理得7＝b＋3－2b×3×，解得b＝8，

2113

所以△ABC的面积S＝bcsin A＝×8×3×＝63.

222

ππ??2．设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)?A>0，ω>0，－<φ<，x∈R?的部分图象如图所示．

22??(1)求函数y＝f(x)的解析式；

?ππ?(2)当x∈?－，?时，求f(x)的取值范围．

?22?

T5πππ2π

解析 (1)由图象知A＝2，又＝－＝，ω>0，所以T＝2π＝，解得ω＝1，

4632ω

πππ?π?所以f(x)＝2sin(x＋φ)．将点?，2?代入得＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，即φ＝＋2kπ(k326?3?πππ?π?∈Z)，又－<φ<，所以φ＝.所以f(x)＝2sin?x＋?.

6?226?

π?π2π??ππ?(2)x∈?－，?，则x＋∈?－，?，

3?6?3?22?3??π??所以sin?x＋?∈?－，1?，即f(x)∈[－3，2]．

6??2??

2π??3．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)?ω＞0，0＜φ＜?的最小正周期为π.

3??(1)求当f(x)为偶函数时φ的值；

3??π

(2)若f(x)的图象过点?，?，求f(x)的单调递增区间．

?62?

2π

解析 因为f(x)的最小正周期为π，则T＝＝π，所以ω＝2，所以f(x)＝sin(2xω＋φ)．

(1)当f(x)为偶函数时，f(－x)＝f(x)．所以sin(2x＋φ)＝sin(－2x＋φ)，展开整理2π

得sin 2xcos φ＝0，由已知可知上式对任意x∈R都成立，所以cos φ＝0.因为0＜φ＜，

3π

所以φ＝. 2

333??π?π??π?(2)当f(x)的图象过点?，?时，sin?2×＋φ?＝，即sin?＋φ?＝.又0

6??2?3?2?62?π?2ππππ2ππ?＜φ＜，所以＜＋φ＜π，所以＋φ＝，φ＝.所以f(x)＝sin?2x＋?.令

3?333333?πππ5ππ

2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.所以f(x)的单调递

23212125ππ??增区间为?kπ－，kπ＋?，k∈Z.

1212??

4．已知向量a＝(m，cos 2x)，b＝(sin 2x，n)，函数f(x)＝a·b，且y＝f(x)的图象π2π???，3，－2?过点?和点???.

?12??3?

(1)求m，n的值；

(2)将y＝f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y＝g(x)的图象，若y＝

g(x)图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y＝g(x)的单调递增区间．

解析 (1)由题意知f(x)＝a·b＝msin 2x＋ncos 2x. 因为y＝f(x)的图象过点?

?π，3?和?2π，－2?.

??3?

?12???

ππ

3＝msin ＋ncos ，??66

所以?4π4π

－2＝msin ＋ncos ，??3313?3＝m＋n，?22即?

31

－2＝－m－n，??22

?m＝3，

解得?

?n＝1.

π??(2)由(1)知f(x)＝3sin 2x＋cos 2x＝2sin?2x＋?. 6??π??易知g(x)＝f(x＋φ)＝2sin?2x＋2φ＋?.

6??

设y＝g(x)的图象上符合题意的最高点为(x0,2)， 由题意知x0＋1＝1，所以x0＝0，

即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)． π??将其代入y＝g(x)，得sin?2φ＋?＝1， 6??π

因为0<φ<π，所以φ＝，

6π??因此g(x)＝2sin?2x＋?＝2cos 2x. 2??

π

由2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z得kπ－≤x≤kπ，k∈Z.

2π??所以函数y＝g(x)的单调递增区间为?kπ－，kπ?，k∈Z. 2??

cos Acos B5．(2016·四川卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且＋

2

absin C＝.

c(1)证明：sin Asin B＝sin C； 6222

(2)若b＋c－a＝bc，求tan B.

5

解析 (1)证明：根据正弦定理得a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin

cos Acos Bsin Ccos Acos Bsin CC．代入＋＝中，有＋＝，变形可得sin Asin Babcksin Aksin Bksin C＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B)．在△ABC中，由A＋B＋C＝π得sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，所以sin Asin B＝sin C.

6b＋c－a3

(2)由已知b＋c－a＝bc和余弦定理可得cos A＝＝.所以sin A＝

52bc5

2

2

2

2

2

2

44432

1－cosA＝.由(1)得sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B，所以sin B＝cos B＋sin 5555

B，故tan B＝

sin B＝4. cos B6．(2019·三门峡调考)在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1,0)和点B(－1,0)，→

|OC|＝1，且∠AOC＝x，其中O为坐标原点．

3π→→

(1)若x＝，设点D为线段OA上的动点，求|OC＋OD|的最小值；

4

→?π?(2)若x∈?0，?，向量m＝BC，n＝(1－cos x，sin x－2cos x)，求m·n的最小值及

2??对应的x值．

解析 (1)设D(t,0)(0≤t≤1)，当x＝

3π22?→→?

时，可得C?－，?，所以OC＋OD＝42??2

222?→→2?2?21→→2?

?－＋t，?，所以|OC＋OD|＝?t－?＋2(0≤t≤1)，所以当t＝2时，|OC＋OD|取

2?2??2?12→→

得最小值为，故|OC＋OD|的最小值为. 22

→22

(2)易得C(cos x，sin x)，m＝BC＝(cos x＋1，sin x)，则m·n＝1－cosx＋sinx－π?ππ??π?2sin xcos x＝1－cos 2x－sin 2x＝1－2sin?2x＋?.因为x∈?0，?，所以≤2x＋4?2?44??π?5ππππ?≤.所以当2x＋＝，即x＝时，m·n＝1－2sin?2x＋?取得最小值1－2，所

4?4428?π

以m·n的最小值为1－2，此时x＝. 8