浙江省杭州市高级中学贡院校区2018-2019学年上学期高2019届高三年级期中考试数学试题

2x 22.已知函数f?x??xe?lnx.

2x （1）若关于x的方程f?x??xe?ax在?1,3?内有两个不同的实数根，求实数a的取值范围；

（2）求证：当x?0时，f?x??1.

1. B 2. A 3. B 4. A 5. B 6. B 7. C 8. C 9. D 10. C

11. 2 0.8

12. x∈（-∞，-1）∪（-1，1）∪（1，+∞） 13. x- y+1=0 14. 7 21 15 16.4 17.

18（Ⅰ）由椭圆的定义，2a＝|PF1|+|PF2|＝2 2 4，故a＝2，

设椭圆的半焦距为c，由已知PF2⊥PF1，因此2c＝|F1F2| 2 ，即c ，从而b 1， 故所求椭圆的标准方程为

．

（Ⅱ）连接F1Q，由椭圆的定义，|PF1|+|PF2|＝2a，|QF1|+|QF2|＝2a， 从而由|PF1|＝|PQ|＝|PF2|+|QF2|， 有|QF1|＝4a﹣2|PF1|，

又由PQ⊥PF1，|PF1|＝|PQ|，知|QF1| |PF1|＝4a﹣2|PF1|，解得|PF1|＝2（2 ）a，从而|PF2|＝2a﹣|PF1|＝2（ 1）a，

由PF2⊥PF1，知2c＝|F1F2| ，因此

e

．

19（1）函数

．

所以当 （k∈Z）时，即{x| }（k∈Z）时，函数的最大值为 ． （2）由于 ， ，所以 ， ，所以 ，

所以 ，利用同角三角函数的恒等式，解得 ，

所以

．

20（1）证明：因为四边形ABCD为菱形，∠BAD＝120°，

所以△ACD为正三角形，所以AC＝AD，又因为点N为CD中点，所以CD⊥AN． ∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴CD⊥PA．PA∩AN＝A，∴CD⊥平面PAN．

（2）由（Ⅰ）知，CD⊥平面PAN，CD?平面PCD，∴平面PAN⊥平面PCD，且平面PAN∩平面PCD＝PN，

过A作AH⊥PN于H，则AH⊥平面PCD，连接CH，则∠ACH为直线AC与平面PCD所成角．在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝1， ，AC＝1，AN

，AH

在RT△PAN中PN

，

直线AC与平面PCD所成角的正弦值：

．

21（1）由8Sn＝an+4an+3，

可得a1＝S1 （a1+4a1+3），解得a1＝1（3?（0，2））， 当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1 （an+4an+3） （an﹣1+4an﹣1+3）， 化为（an﹣an﹣1）（an+an﹣1）＝4（an+an﹣1）， 由an＞0，则an﹣an﹣1＝4，

可得{an}为首项为1，公差为4的等差数列， 则an＝1+4（n﹣1）＝4n﹣3，n∈N*； （2）对任意m∈N，4 4n﹣3 4， 则 4

m﹣1

*2

2

2

2

m2m n 4

2m﹣1

，

而n∈N*，由题意可知bm＝4

3

5

2m﹣1

﹣4

m﹣1

，

2

则前m项和Sm＝（4+4+4+…+4

2m﹣1

）﹣（1+4+4+…+4

m﹣1

）

．

22（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），

由直线OA，AB，OB的斜率依次构成等比数列， 得

，

联立

2

2

，可得（b2+a2k2）x2+2a2kmx+a2m2﹣a2b2＝0，

故△＝（2akm）﹣4（b+ak）（am﹣ab）＞0， 即b﹣m+ak＞0， 又x1+x2 ，x1x2 则

2

2

22

2222222

，

2

，

即km（x1+x2）+m＝0， 即

，

又直线不经过原点，∴m≠0， ∴b＝ak，即b＝ak；

（2）若e ，则a＝2c，b c， ，

2

22

又k＞0，得k 则x1+x2

，

，x1x2

m﹣2c，

22

|AB| ?

?

，

化简得

．