2019最新高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1 椭圆 2.1.2 第二课时 直线与椭圆的位置关系课时作业

解得k≥.

2

于是e=

2

==,

所以0

2

解得0

.

10.(2018·成都诊断)过点M(-1,)的直线l与椭圆x+2y=2交于A,B两点,线段AB中点为M,设直线l的斜率为k1(k1≠0).直线OM的斜率为k2,则k1k2的值是 . 解析:设A(x1,y1),B(x2,y2), 则+2=2,① +2=2,②

②-①得(x2-x1)(x2+x1)+2(y2-y1)(y2+y1)=0.

22

则=-,

所以k1==-=1,

而k2==-,

故k1k2=-.

答案:-

11.(2018·温州联考)已知椭圆+=1(a>b>0)过点(0,1),其长轴长、焦距和短轴长三者的

平方成等差数列.直线l与x轴正半轴和y轴分别交于Q,P,与椭圆分别交于点M,N,各点均不重合且满足

=λ

1

,=λ

2

.

5

(1)求椭圆的标准方程;

(2)若λ1+λ2=-3,试证明直线l过定点并求此定点.

222

解:(1)设椭圆的焦距为2c,由题意知b=1,且(2a)+(2b)=2(2c),

222

又a=b+c,

2

所以a=3.

所以椭圆的标准方程为+y=1.

2

(2)由题意设P(0,m),Q(x0,0),M(x1,y1),N(x2,y2), 设l方程为x=t(y-m), 由

=λ

1

知(x1,y1-m)=λ1(x0-x1,-y1),

所以y1-m=-y1λ1,由题意y1≠0,

所以λ1=-1.

同理由=λ

2

知λ2=-1.

因为λ1+λ2=-3,

所以y1y2+m(y1+y2)=0,①

联立得(t+3)y-2mty+tm-3=0,

24222

由题意知Δ=4mt-4(t+3)(tm-3)>0,②

22222

且有y1+y2=

22

,y1y2=

2

,③

③代入①得tm-3+m·2mt=0,

2

所以(mt)=1, 由题意mt<0,

所以mt=-1,满足②,

得l方程为x=ty+1,过定点(1,0),即Q为定点.

【探究创新】

12.(2018·承德高二期中)已知椭圆C:k(k>0)的直线与C相交于A,B两点.若

+=3

=1(a>b>0)的离心率为,则k= .

,过右焦点F且斜率为

解析:根据已知=,可得a=c,

22

则b=c,

6

22

故椭圆方程为

+=1,

即3x2

+12y2

-4c2

=0.

设直线的方程为x=my+c(m=), 代入椭圆方程得(3m2

+12)y2

+6mcy-c2

=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则根据

=3

,

得(c-x1,-y1)=3(x2-c,y2),由此得-y1=3y2,

根据根与系数的关系得y1+y2=-,

y1y2=-,

把-y1=3y2代入得,y2=,=,

故9m2=m2+4,故m2

=, 从而k2

=2,k=±. 又k>0,故k=. 答案:

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