2019最新高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1 椭圆 2.1.2 第二课时 直线与椭圆的位置关系课时作业

第二课时 直线与椭圆的位置关系

【选题明细表】 知识点、方法 直线与椭圆的位置关系 弦长问题 中点弦问题 最值问题 定值、定点问题 综合问题 【基础巩固】 题号 1,2 3,4,7 6 8 11 5,9,10,12 1.直线y=kx-k+1与椭圆+=1的位置关系为( A )

(A)相交 (B)相切 (C)相离 (D)不确定

解析:直线y=kx-k+1=k(x-1)+1恒过定点(1,1),又点(1,1)在椭圆内部,故直线与椭圆相交.故选A.

2.若直线kx-y+3=0与椭圆+=1有两个公共点,则实数k的取值范围是( C )

(A)(-,)

(B)()∪(-)

(C)(-∞,-)∪(,+∞)

(D)(-∞,-)∪(-,)

解析:由可得(4k+1)x+24kx+20=0,

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当Δ=16(16k-5)>0,即k>故选C.

2

或k<-时,直线与椭圆有两个公共点.

3.(2017·哈师大附中高三月考)已知点M(,0),椭圆+y=1与直线y=k(x+

2

)交于A,B,

1

则△ABM的周长为( B )

(A)4 (B)8 (C)12 (D)16

解析:因为椭圆的焦点为(±,0),M为右焦点,直线过左焦点, 所以△ABM的周长为4a=4×2=8. 故选B.

4.(2018·杭州调研)已知椭圆+=1的上焦点为F,直线x+y-1=0和x+y+1=0与椭圆分别

相交于点A,B和C,D,则|AF|+|BF|+|CF|+|DF|等于( D )

(A)2 (B)4 (C)4 (D)8

解析:如图,设F1为椭圆的下焦点,两条平行直线分别经过椭圆的两个焦点,连接AF1,BF1.由椭圆的对称性可知,四边形AFDF1为平行四边形,

所以|AF1|=|FD|, 同理|BF1|=|CF|,

所以|AF|+|BF|+|CF|+|DF|=|AF|+|BF|+|BF1|+|AF1|=4a=8. 故选D.

5.(2018·扬州高二检测)过椭圆+=1的右焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B

两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为 . 解析:由已知可得直线方程为y=2x-2,

联立方程得交点坐标,

不妨令A(0,-2),B(,),

所以S△OAB=·|OF|·|yA-yB|=.

答案:

6.(2017·潜江高二期中)椭圆4x+9y=144内有一点P(3,2),过点P的弦恰好以P为中点,那么这弦所在直线的方程为 .

解析:设以P(3,2)为中点的椭圆的弦与椭圆交于E(x1,y1),F(x2,y2), 因为P(3,2)为EF中点, 所以x1+x2=6,y1+y2=4,

2

2

2

把E(x1,y1),F(x2,y2)分别代入椭圆4x+9y=144,得

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所以4(x1+x2)(x1-x2)+9(y1+y2)(y1-y2)=0, 所以24(x1-x2)+36(y1-y2)=0,

所以k==-,

所以以P(3,2)为中点的椭圆的弦所在的直线方程为

y-2=-(x-3), 整理,得2x+3y-12=0. 答案:2x+3y-12=0

7.已知椭圆C的对称轴为坐标轴,一个焦点为F(0,-),点M(1,(1)求椭圆C的方程;

(2)已知直线l:2x-y-2=0与椭圆C交于A,B两点,求|AB|. 解:(1)因为椭圆C的对称轴为坐标轴,一个焦点为F(0,-所以c=,

因为点M(1,)在椭圆C上, 所以2a=a=2,b=a-c=2,

2

2

2

)在椭圆C上.

),

+=4,

所以椭圆C的方程为+=1.

(2)联立直线l与椭圆C的方程

解得

令A(0,-2),B(,),

则|AB|==.

【能力提升】

8.(2018·宜宾高二月考)若直线y=x+t与椭圆+y=1相交于A,B两点,当t变化时,|AB|的

2

3

最大值为( C )

(A)2 (B) (C) (D)

解析:将y=x+t代入得5x+8tx+4t-4=0,

2

2

+y=1,

2

则x1+x2=-,x1x2=.

由|AB|=×=·,

当t=0时|AB|最大,最大值为故选C.

×=.

9.(2018·河北质检)已知直线l:y=kx+2过椭圆+=1(a>b>0)的上顶点B和左焦点F,且被

圆x+y=4截得的弦长为L,若L≥

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,则椭圆离心率e的取值范围是( B )

(A)(0,) (B)(0,)

(C)(0,) (D)(0,)

解析:依题意,知b=2,kc=2.

设圆心到直线l的距离为d,则L=2≥,

解得d≤

2

.

又因为d=,

所以≤,

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