2016-2017学年人教A版选修2-2 第1章 导数及其应用单元测试

f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)． 当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＞0； 当x∈(－1，0)时，f′(x)＜0； 当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0.

故f(x)在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增， 在(－1，0)上单调递减． (2)f(x)＝x(ex－1－ax)，

令g(x)＝ex－1－ax，则g′(x)＝ex－a.

若a≤1，则当x∈(0，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，而g(0)＝0，从而当x≥0时g(x)≥0，即f(x)≥0.

若a＞1，则当x∈(0，ln a)时，g′(x)＜0，g(x)为减函数，而g(0)＝0，从而当x∈(0，ln a)时g(x＜0)，f(x)＜0.

综上，得a的取值范围为(－∞，1]．

22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3－x，如果过点(2，m)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求m的取值范围．

解：f′(x)＝3x2－1，曲线y＝f(x)在点M(t，f(t))处的切线方程为y－f(t)＝f′(t)(x－t)，

即y＝(3t2－1)x－2t3.

如果有一条切线过点(2，m)，则存在t， 使m＝－2t3＋6t2－2.

若过点(2，m)可作曲线y＝f(x)的三条切线，则方程2t3－6t2＋m＋2＝0有三个相异的实数根．

记g(t)＝2t3－6t2＋m＋2，则g′(t)＝6t2－12t＝ 6t(t－2)．令g′(t)＝0，得t＝0或t＝2.

当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表所示：

t g′(t) g(t) (－∞，0) ＋ 增函数 0 0 极大值 2＋m (0，2) － 减函数 2 0 极小值 m－6 (2，＋∞) ＋ 增函数 由g(t)的单调性，当极大值2＋m＜0或极小值m－6＞0时，方程g(t)＝0最多有一个实数根；

当2＋m＝0或m－6＝0时，方程g(t)＝0只有两个相异的实数根；

??2＋m＞0当?时，方程g(t)＝0有三个相异的实数根， ?m－6＜0?

解得－2＜m＜6.

即如果过(2，m)可作曲线y＝f(x)的三条切线， 则m∈(－2，6)．