2018年湖南省郴州市高考数学二模试卷(理科)

则

设AE=a，则E（1，0，a）， ∴

设平面BDE的法向量为

，则

．

，…

…

即令z=1，得，…

∴，…

∵直线FO与平面BED所成角的大小为45°，∴解得a=2或

（舍），∴|AE|=2．…

，…

20．某水泥厂销售工作人员根据以往该厂的销售情况，绘制了该厂日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．

（1）求未来3天内，连续2天日销售量不低于8吨，另一天日销售量低于8吨的概率；

（2）用X表示未来3天内日销售量不低于8吨的天数，求随机变量X的分布列及数学期望．

【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．

【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图求出日销售量不低于8吨的频率为0.4，记未来3天内，第i天日销售量不低于8吨为事件A1（i=1，2，3），未来3天内，连续2天日销售不低于8吨，另一天日销量低于8吨包含两个互斥事件

和

，由此能求出未来3天内，连续2天日销售量不低于8吨，另一天日销

售量低于8吨的概率．

（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，且X～B（3，0.4），由此能求出X的分布列和E（X）．

【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，

日销售量不低于8吨的频率为：2×（0.125+0.075）=0.4，…

记未来3天内，第i天日销售量不低于8吨为事件A1（i=1，2，3）， 则P（A1）=0.4，…

未来3天内，连续2天日销售不低于8吨， 另一天日销量低于8吨包含两个互斥事件

和

，…

则未来3天内，连续2天日销售量不低于8吨，另一天日销售量低于8吨的概率：

…

=0.4×0.4×（1﹣0.4）+（1﹣0.4）×0.4×0.4=0.192．… （Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，且X～B（3，0.4） P（X=0）=（1﹣0.4）3=0.216，…

，… ，…

P（X=3）=0.43=0.064，… ∴X的分布列为： X P …

E（X）=3×0.4=1.2．…

21．已知椭圆

的离心率为，且过点

．若点M（x0，

0 0.216 1 0.432 2 0.288 3 0.064 y0）在椭圆C上，则点（1）求椭圆C的标准方程；

称为点M的一个“椭点”．

（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点，且A，B两点的“椭点”分别为P，Q，以PQ为直径的圆经过坐标原点，试求△AOB的面积． 【考点】直线与椭圆的位置关系．

【分析】（1）由椭圆的离心率公式，利用待定系数法及a，b，c的关系，即可取得a与b的值，求得椭圆方程；

（2）以PQ为直径的圆经过坐标原点，得

，将直线l的方程代入椭圆方

程，由韦达定理，弦长公式及点到直线的距离公式，将2m2﹣4k2=3代入即可求得△AOB的面积．

【解答】解：（1）由椭圆的离心率又a2=b2+c2，则∴椭圆

，… ，

，得a=2c，…

由∴

在C上，则，…

，得c=1，…

∴椭圆C的方程为：；…

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则P（由以PQ为直径的圆经过坐标原点，得即

（1）…

，，

），Q（，），

由

，消除y整理得：（3+4k2）x2+8mk+4（m2﹣3）=0，

由△=64k2m2﹣16（3+4k2）（m2﹣3）＞0，得3+4k2﹣m2＞0， 而

（2）…

∴（3）

将（2）（3）代入（1）得：即2m2﹣4k2=3，… 又∵

，

，…

原点O到直线l：y=kx+m的距离，…

∴

把2m2﹣4k2=3代入上式得

22．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3．

，…

，即S△AOB的面积是为

．…

（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；

（2）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围． （3）探讨函数F（x）=lnx﹣

+

是否存在零点？若存在，求出函数F（x）的

零点，若不存在，请说明理由．