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专题能力训练12 空间中的平行与垂直
(时间:60分钟 满分:100分)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分) 1.给出下列四个命题:
①分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线;
②如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行;
④如果两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中为真命题的是( )
A.①② B.②③ C.③④ D.②④
2.(2017浙江吴越联盟第二次联考)已知直线a,b以及平面α,β,则下列命题正确的是( )
A.若a∥α,b∥α,则a∥b B.若a∥α,b⊥α,则a⊥b C.若a∥b,b∥α,则a∥α D.若a⊥α,b∥β,则α⊥β
3.如图所示,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿BD折起,使得平面ABD⊥平面BCD,构成四面体A-BCD,则在该四面体中,下列说法正确的是( )
A.平面ABD⊥平面ABC B.平面ACD⊥平面BCD C.平面ABC⊥平面BCD D.平面ACD⊥平面ABC
4.将正方形ABCD沿对角线AC折成120°的二面角,则折后的直线BD与平面ABC所成角的正弦值为( )
A B C D
5.平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为( ) A B C D
6.在四面体ABCD中,AB=CD,AC=BD,AD=BC,以下判断错误的是( ) A.该四面体的三组对棱的中点连线两两垂直 B.该四面体的外接球球心和内切球球心重合 C.该四面体的各面是全等的锐角三角形
D.该四面体中任意三个面两两所成二面角的正弦值之和为1
7.如图,在四边形ABCD中,AB=BD=DA=2,BC=CD=现将△ABD沿BD折起,当二面角A-BD-C处于过程中,直线AB与CD所成角的余弦值的取值范围是( )
A B C D
8.(2017浙江绍兴一模)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱AB的中点为P,若光线从点P出发,依次经三个侧面BCC1B1,DCC1D1,ADD1A1反射后,落到侧面ABB1A1(不包括边界)上,则入射光线PQ与侧面BCC1B1所成角的正切值的范围是( )
A B C D
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)
9.设l是直线,α,β是两个不同的平面,则下列说法正确的是 . ①若l∥α,l∥β,则α∥β; ②若l∥α,l⊥β,则α⊥β; ③若α⊥β,l⊥α,则l∥β; ④若α⊥β,l∥α,则l⊥β. 10.
如图,AB为圆O的直径,点C在圆周上(异于点A,B),直线PA垂直于圆O所在的平面,点M为线段PB的中点.有以下四个命题: ①PA∥平面MOB; ②MO∥平面PAC; ③OC⊥平面PAC;
④平面PAC⊥平面PBC.
其中正确的命题是 (填上所有正确命题的序号).
11.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足 时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)
12.(2017浙江“超级全能生”3月联考)在矩形ABCD中,AB=,BC=1,将△ABC与△ADC沿AC所在的直线进行随意翻折,在翻折过程中直线AD与直线BC所成的角的范围(包含初始状态)为 .
A B C D
13.如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1A=2,底面是边长为1的正方形,E,F,G分别是棱BB1,AA1,AD的中点,则平面A1DE与平面BGF的位置关系是 (填“平行”或“相交”).
14.如图,矩形ABCD的边AB=a,BC=2,PA⊥平面ABCD,PA=2,现有数据:①a=;②a=1;③a=;④a=4,当BC边上存在点Q,使PQ⊥QD时,可以取 (填正确的序号).
三、解答题(本大题共2小题,共30分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分15分)如图,在四棱锥E-ABCD中,平面CDE⊥平面ABCD,∠DAB=∠ABC=90°,AB=BC=1,AD=ED=3,EC=2.
(1)证明AB⊥平面BCE;
(2)求直线AE与平面CDE所成角的正弦值.
16.(本小题满分15分)如图,AB=BE=BC=2AD=2,且AB⊥BE,∠DAB=60°,AD∥BC,BE⊥AD,
(1)求证:平面ADE⊥平面BDE;
(2)求直线AD与平面DCE所成角的正弦值.
参考答案
专题能力训练12 空间中的平行与垂直
1.D 解析 分别与两条异面直线都相交的两条直线,可能相交也可能异面,故A错误; 根据面面垂直的判定定理,可知当一个平面经过另一个平面的垂线时,这两个平面一定相互垂直,故B正确;
垂直于同一直线的两条直线可能平行也可能相交还可能异面,故C错误;
由面面垂直的性质定理,可知当两个平面垂直时,一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直,故D正确.
故选D.
2.B 解析 对于A,若a∥α,b∥α,则a∥b或a,b相交、异面,不正确; 对于B,若a∥α,则经过a的平面与α交于c,a∥c, ∵b⊥α,∴b⊥c,∵a∥c,∴a⊥b,正确;
对于C,若a∥b,b∥α,则a∥α或a?α,不正确;
对于D,若a⊥α,b∥β,则α,β的位置关系不确定,不正确.故选B.
3.D 解析 因为AD=AB,∠BAD=90°,则∠DBC=45°?DB⊥DC,又平面ABD⊥平面BCD,所以DC⊥平面ABD?CD⊥AB,结合AB⊥AD,AD∩CD=D可得AB⊥平面ACD,故平面ACD⊥平面ABC,应选D.
4.A 解析 设AC的中点为E,由正方形的性质可知,BE⊥AC,DE⊥AC,折起后仍有BE⊥
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