1959年至2016年历届IMO试题（不含答案） - 图文

International Mathematical Olympiad

中国 北京（Beijing，China）

1. 一个圆的弦AB和CD在圆内交于点E。设M是线段EB的内点。过E点作经过点D、E、M的圆的切线，它分别交直线BC和AC于F和G。如果

EGAM。（印度） ?t，试用t来表示EFAB2. 设n≥3，考虑2n-1个圆上不同的点构成的集合E。假设这些点中恰好有k个点被涂成黑色。如果至少有一对

黑点使得这两个黑点之间的弧上（两段弧中的某一个）恰好包含E中的n个点，就成这样的染色方法是“好的”。试找出对于集合E能保证任意一种染色方法都是“好的”的最小的k值。（捷克斯洛伐克）

2n?13. 找出满足为整数的所有的大于1的整数n。（罗马尼亚） 2n4. 设

+

为正有理数的集合。构造函数f：+→

+

，且对于所有

+内的x、y都满足f(xf(y))?f(x)。（土耳其） y5. 给出一个初始整数n0＞1，两位玩家，A和B，轮流选择整数n1，n2，n3，?并遵循下列规则： 已知n2k，A选择满足n2k?n2k?1?n2k的任一整数n2k+1。 已知n2k+1，B选择满足

2n2k?1是一个质数的正整数幂。 n2k?2玩家A通过选择数字1990赢得游戏；玩家B通过选择数字1赢得胜利。当n0值为多少时： (a) A有必胜的策略？ (b) B有必胜的策略？

(c) 二者都没有必胜的策略？（德国）

6. 证明：存在一个凸1990边形，有下面两个属性： (a) 所有的角相等；

(b) 不计顺序，1990条边的长度分别为12，22，32，?，19902。（荷兰）

第三十二届（1991年）

瑞典 锡格蒂纳（Sigtuna，Sweden）

1. 给出三角形ABC，设I是其内切圆的圆心。角A、B、C的内角平分线分别交其对边于A’、B’、C’。证明

1AI?BI?CI8??。（苏联） 4AA??BB??CC?272. 设n为大于6的整数，a1，a2，?，ak是所有小于n且与n互质的自然数。如果有a2 - a1 = a3 - a2 = ? = ak - ak-1 > 0，证明n一定为一个质数或者2的整数幂。（罗马尼亚）

3. 设S={1,2,3，?，280}。找到满足条件的最小整数n，使S的每个n元子集包含五个数是两两互质的。（中国） 4. 假设G是有k条边的连通图。求证：有可能对这些边标记为1,2，?，k，使得每个顶点属于两条或多条边，从这个顶点出发的每条边的标号的最大公约数为1。

【一个图由一组顶点和一组连接某对不同顶点的边组成。每对顶点u、v最多连有一条边。图G如果对于每对不同的顶点x、y有一系列的顶点x = v0,v1,v2,...,vm = y使得每对vi，vi+1都有G的一条边连接，那么G就是连通

21st

International Mathematical Olympiad

的。】（美国）

5. 在三角形ABC中，P是△ABC内的一点。说明在∠PAB，∠PBC和∠PCA中至少有一个角小于或等于30°。（法国）

6. 一个实数的无限数列x0，x1，x2，?，如果存在常数C使得对于每一个i≥0都有|xi|≤C，那么这个数列是“有界的”。给出任意一个大于1的实数a，构造一个有界的无限数列x0，x1，x2，?对于每对不同的非负整数i、j都有xi?xji?j?1。（荷兰）

a第三十三届（1992年）

俄罗斯 莫斯科（Moscow，Russia）

1. 找到满足条件的所有整数a、b、c，1

2. R表示所有实数的集合。找到所有满足条件的函数f：R→R且对于所有的x、y∈R都有f(x2+f(y))=y+(f(x))2。（印度）

3. 给定空间中的九个点，其中任何四点都不共面。在每一对点之间都连有一条线段，这条线段可染为红色或蓝色，也可不染色。试求出最小的n值，使得将其中任意n条线段中的每一条任意地染为红蓝二色之一时，在这n条线段的集合中都必包含有一个各边同色的三角形。（中国）

4. 在平面内，设C为一个圆，L是圆C的切线，点M在L上。找到有下列属性的所有点P的轨迹：在L上存在两点Q、R使得M为Q、R的中点，C是三角形PQR的内切圆。（法国）

5. 设S为立体空间内的有限点集。设Sx，Sy，Sz分别为S中的点在yz平面、zx平面、xy平面上的正投影。求证

S?Sx?Sy?Sz，其中|A|代表有限集合A的元素个数。（注意：一个点在平面上的正投影是这个点向这个平

面上引垂线，垂足所在位置。）（意大利）

6. 对于每个正整数n，S(n)是满足以下要求的最大整数：对于每一个正整数k≤S(n)，n2都可以被写成k个完全平方数的和。

(a) 证明对于每个n≥4都有S(n)≤n2-14。 (b) 求出使S(n)=n2-14的一个整数n。

(c) 证明有无限多个整数n使得S(n)≤n2-14。（英国）

2第三十四届（1993年）

土耳其 伊斯坦布尔（Istanbul，Turkey）

22nd

International Mathematical Olympiad

1. 设f(x)=xn+5xn-1+3，其中n是大于1的整数。求证：f(x)不能表示成系数为整数的两个非常量的多项式的积。（爱尔兰）

2. 设D是锐角三角形ABC内一点，使得?ADB??ACB?(a) 求出比例

?2且AC·BD=AD·BC

AB?CD。

AC?BD(b) 求证：过C点的△ACD和△BCD的外接圆的切线垂直。（英国）

3. 在一个无限大的棋盘上以如下方式做游戏。开始时棋盘中的一个n×n的框上整齐地摆放着n2个棋子（每个小方格上放着一个棋子），游戏的每一步都是在水平或者竖直方向上跨越一个棋子而 跳到一个空格子上去，并同时取走所跨越过的棋子。

试找出所有的n值使得游戏以只留一个棋子在棋盘上而结束。（芬兰）

4. 对于平面上的三个点P、Q、R，我们定义m(PQR)是△PQR三条高中的最短的一条的长度。（如果P、Q、R共线，我们规定m(PQR)=0。）

求证：对于平面上的四个点A、B、C、X，m(ABC)≤m(ABX)+m(AXC)+m(XBC)。（马其顿）

5. 是否存在一个函数f：N→N，使得对于所有n∈N都有f(1)=2，f(f(n))=f(n)+n，f(n)＜f(n+1)？（德国） 6. 在一个圆上有n（n>1）盏灯为L0，?，Ln-1。我们定义Ln+k=Lk。（一盏灯在任何时候要么开，要么关。）按要求执行步骤s0，s1，?：在步骤si，如果Li-1亮着，那么就关掉或打开Li，否则什么事都不做。开始时所有灯都亮着。说明：

(a) 存在一个正整数M(n)使其在经过M(n)步后所有灯再次全亮； (b) 如果n=2k，我们可以取M(n) = n2-1； (c) 如果n=2k+1，我们可以取M(n) = n2-n-1；（荷兰）

第三十五届（1994年）

香港（Hong Kong）

1. 设m、n为正整数。设a1，a2，?，am为{1,2，?，n}中不同的元素，只要对于一些i、j（1≤i≤j≤m）有ai+aj≤n，那么就存在k，1≤k≤m，使得ai+aj=ak。求证

a1?a2???amn?1?。（法国）

m22. ABC是等腰三角形，AB=AC。假设

1) M是BC的中点，O是直线AM上使得OB垂直AB的一点； 2) Q是线段BC上不同于B和C的任意一点；

3) E在直线AB上，F在直线AC上，E、Q、F三点不重合但共线。 求证：当且仅当QE=QF时OQ垂直于EF。（亚美尼亚、澳大利亚）

3. 对于任一正整数k，设f(k)是集合中{k+1,k+2, ... , 2k}中用二进制表示恰好有3个1的数的个数。 a) 试证明：对于每一个正整数m，都存在至少一个正整数k使得f(k)=m。 b) 找出所有的满足条件的正整数m，使之只存在一个k使得f(k)=m。（罗马尼亚）

n3?14. 判断出所有使得是整数的有序正整数对（m，n）。（澳大利亚）

mn?1

23rd

International Mathematical Olympiad

5. 设S为严格大于-1的实数的集合。找出所有满足下面两个条件的函数f:S→S： 1) 对于S内的所有x和y都有f(x?f(y)?xf(y))?y?f(x)?yf(x)； 2)

f(x)在区间-1

第三十六届（1995年）

加拿大 多伦多（Toronto，Canada）

1. 设A、B、C、D是按顺序在一条线上的四个不同的点。分别以AC和BD为直径的圆交于X和Y。直线XY交BC于Z。设P是直线XY上不同于Z的一点。直线CP交以AC为直径的圆于C和M，直线BP交以BD为直径的圆于B和N。求证：直线AM、DN、XY共点。（保加利亚） 2. 设a、b、c为正整数且abc=1。证明：

1113。（俄罗斯） ???a3(b?c)b3(c?a)c3(a?b)23. 找到所有满足条件的大于3的整数n，使平面上存在n个点A1，?，An，任意三点都不共线，实数r1，?，rn使得对于1≤i＜j＜k≤n，△AiAjAk的面积是ri+rj+rk。（捷克）

4. 找到x0的最大值，使得存在一个由正实数组成的数列x0，x1，?，x1995，有x0=x1995，且对于i=1，?，1995，都有xi?1?21?2xi?。（波兰） xi?1xi5. 设ABCDEF为凸六边形且AB=BC=CD以及DE=EF=FA，使∠BCD=∠EFA=点，使得∠AGB=∠DHE=

?。假设G和H是六边形的内32?。求证：AG+GB+GH+DH+HE≥CE。（新西兰） 36. 设p是奇质数。有多少个{1,2，?，2p}的p元子集A，其元素的和可被p整除？（波兰）

第三十七届（1996年）

24th