2015年高中数学合情推理与演绎推理专题自测试题

平面 点 线 圆

空间 线 面 球 三角形 三棱锥 角 面积 周长 ? ②等差数列与等比数列的类比 等差数列 两项之和 两项之差 等比数列 两项之积 两项之比 二面角 体积 表面积 ? 前n项之和 前n项之积 ? 变式训练

2．(2014·陕西师大附中模拟)若数列{an}是等差数列，则数列{bn}

a1＋a2＋?＋an???bn＝?也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也

n??是等比数列，则dn的表达式应为( )

? A．dn＝

c1＋c2＋?＋cnc1·c2·?·cn

B．dn＝

nn

nnncn

n1＋c2＋?＋cn

C．dn＝ D．dn＝c1·c2·?·cn

n

解析：选D.若{an}是等差数列，则 a1＋a2＋?＋an＝na1＋∴bn＝a1＋

n（n－1）

d， 2

（n－1）dd

d＝n＋a1－， 222

即{bn}为等差数列；若{cn}是等比数列，则c1·c2·?·cn＝

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c·qn1

1＋2＋?＋(n－1)

n（n－1）n－1

n

＝c·q，∴dn＝c1·c2·?·cn＝c1·q2， 2

n

1

即{dn}为等比数列，故选D.

考向三 演绎推理

例题3 (2014·西安长安一中质检)若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，1a1＝. 2

??1???(1)求证：?成等差数列； ??Sn??

(2)求数列{an}的通项公式． 【审题视点】 (1)利用

??1??

an＝Sn－Sn－1推导??的递推关系，从而求

??Sn??

an.

【典例精讲】 (1)证明：当n≥2时，由an＋2SnSn－1＝0， 11

得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，所以－＝2，

SnSn－1

??1??11

又＝＝2，故??是首项为2，公差为2的等差数列． S1a1?Sn???

11(2)由(1)可得＝2n，∴Sn＝，

Sn2n当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝＝

1

，

2n－2n2

11－ 2n2（n－1）

1??2 （n＝1），

对n＝1不成立，所以a＝?

1??2n－2n （n≥2）.

n

2

【类题通法】 (1)演绎推理的结构

演绎推理是由一般到特殊的推理，其最常见的形式是三段论，它是由大前提、小前提、结论三部分组成的．三段论推理中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况．这两个判断联合起来，提示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断：结论．

(2)演绎推理的理论依据

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其推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P.

变式训练

3．(2013·高考重庆卷)设数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝3an，n∈N＋. (1)求{an}的通项公式及前n项和Sn；

(2)已知{bn}是等差数列，Tn为其前n项和，且b1＝a2，b3＝a1＋a2＋a3，求T20.

n1－31

解析：(1)由题设知{an}是首项为1，公比为3的等比数列，所以an＝3n－1，Sn＝＝(3n－1)．

1－32

(2)b1＝a2＝3，b3＝1＋3＋9＝13，b3－b1＝10＝2d，所以公差d＝5，故T20＝20×3＋1 010.

合情推理与演绎推理的方法探究

20×19

×5＝2

典型例题 (2013·高考全国新课标卷)设△AnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，△AnBnCn的面积为

Sn，n＝1，2，3，?.若b1>c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝

A．{Sn}为递减数列 B．{Sn}为递增数列

C．{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列 D．{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列

cn＋an2

，cn＋1＝

bn＋an2

，则( )

【方法分析】 ①题目条件：一系列△AnBnCn的三边大小关系和递推关系． ②解题目标：判断该系列三角形的面积S1，S2，?，Sn的单调变化．

③关系探究：(ⅰ)由b1＞c1，b1＋c1＝2a1判断第一个三角形A1B1C1的三边a1，b1，c1的大小关系． (ⅱ)由递推关系an＋1、bn＋1、cn＋1推导b2、c2与a1的关系． (ⅲ)视a1为定值，推导an、bn与a1的大小关系． (ⅳ)猜想Sn最大值时的条件．

【解题过程】 在△A1B1C1中，b1>c1，b1＋c1＝2a1， ∴b1>a1>c1.

在△A2B2C2中，a2＝a1，b2＝

c1＋a1

2

，c2＝

b1＋a1

2

，

b2＋c2＝2a1，∴c1

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在△A3B3C3中，a3＝a2＝a1，b3＝

c2＋a2c2＋a1

2＝2

，

c3＝

b2＋a2b2＋a1

2＝2

，b3＋c3＝2a1，

∴a1

由归纳知，n越大，两边cn，bn越靠近a1且cn＋bn＝2a1，此时面积Sn越来越大，当且仅当cn＝bn＝a1时△AnBnCn面积最大．

【答案】 B

【回归反思】 (1)此题也反映了等差数列的性质．cn，a1，bn成等差数列，且随n增加．cn，bn逐渐靠近中项，即当a1固定时，另两边逐渐接近a1，直到成为等边三角形达到面积最大．

(2)此题也可以用特值到一般的归纳推理．如令a1＝4，c1＝3，b1＝5，依次推出c2，b2等，计算三角形面积得出答案．

真题体验

1．(2013·高考陕西卷)观察下列等式 (1＋1)＝2×1

(2＋1)(2＋2)＝22×1×3

(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5 ??

照此规律，第n个等式可为______________________________________________． 解析：由前三个式子观察归纳可得结论．

答案：(n＋1)(n＋2)?(n＋n)＝2n×1×3×?×(2n－1) 2．(2012·高考陕西卷)观察下列不等式 131＋2＜， 221151＋2＋2＜， 23311171＋2＋2＋2＜， 2344??

照此规律，第五个不等式为____________________．

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