2011全国中考真题解析120考点汇编：菱形的性质与判定

2011全国中考真题解析120考点汇编

∴AE＝

12AB，CF＝

12CD．∴AE＝CF，∴△ADE≌△CBF，

∴∠3＝∠CBF，∵∠ADB＝∠CBD，∴∠2＝∠FBD，∴DE∥BF， （2）∵∠G＝90°，∴四边形AGBD是矩形，∠ADB＝90°， ∴∠2+∠3＝90°，∴2∠2+2∠3＝180°．∴∠1＝∠2，∠3＝∠4． ∴DE＝AE＝BE，∵AB∥CD，DE∥BF，∴四边形DEBF是菱形．

点评：本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定、平行的判定、菱形的判定，比较综合，难度适中．

18. （2011杭州，24，12分）图形既关于点O中心对称，又关于直线AC，BD对称，AC=10，BD=6，已知点E，M是线段AB上的动点（不与端点重合），点O到EF，MN的距离分别为h1，h2，△OEF与△OGH组成的图形称为蝶形． （1）求蝶形面积S的最大值； （2）当以EH为直径的圆与以MQ为直径的圆重合时，求h1与h2满足的关系式，并求h2的取值范围． 考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的判定与性质；轴对称的性质；中心对称；平行线分线段成比例． 专题：计算题；几何图形问题． 分析：（1）由题意，得四边形ABCD是菱形，根据EF∥BD，求证△ABD∽△AEF，然后利用其对边成比例求得EF，然后利用三角形面积公式即可求得蝶形面积S的最大值． （2）根据题意，得OE=OM．作OR⊥AB于R，OB关于OR对称线段为OS，①当点E，M不重合时，则OE，OM在OR的两侧，可知RE=RM．利用勾股定理求得BR，由ML∥EK∥OB，利用平行线分线段求得可知h1的取值范围；②当点E，M重合时，则h1=h2，此时可知h1的取值范围． 第41页（共51页）________________ h15+h25?917即2011全国中考真题解析120考点汇编

解答：解：（1）由题意，得四边形ABCD是菱形． ∵EF∥BD， ∴△ABD∽△AEF， ∴EF6?5?h155，即EF?65152(5?h1) 所以当h1? 2时，Smax?． （2）根据题意，得OE=OM． 如图，作OR⊥AB于R，OB关于OR对称线段为OS， ①当点E，M不重合时，则OE，OM在OR的两侧，易知RE=RM． ∵AB?∴OR?5?3?15342234， ， ∴BR?3?(21534)?2934 由ML∥EK∥OB， 得即OKOAh15+?h25BEOLBMOKOLBEBM2BR,?????∴， ABOAABOAOAABABAB?917 4517∴h1+h2?4517，此时h1的取值范围为0?h1?且h1?4534 ②当点E，M重合时，则h1=h2，此时h1的取值范围为0＜h1＜5． 点评：此题主要考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，菱形的判定与性质，轴对称的性质，中心对称，平行线分线段成比例等知识点，综合性强，有一定的拔高难度，属于难题． 19. （2011湖州，22，10分）如图，已知E、F分别是?ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF．

（1）求证：四边形AECF是平行四边形；

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（2）若BC=10，∠BAC=90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长．

考点：平行四边形的判定与性质；菱形的性质. 专题：证明题.

分析：（1）首先由已知证明AF∥EC，BE=DF，推出四边形AECF是平行四边形．（2）由已知先证明AE=BE，即BE=AE=CE，从而求出BE的长．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，∴AF∥EC， ∵BE=DF，∴AF=EC，∴四边形AECF是平行四边形．

（2）解：∵四边形AECF是菱形，∴AE=EC，∴∠1=∠2，∵∠3=90°﹣∠2，∠4=90°﹣∠1， ∴∠3=∠4，∴AE=BE，∴BE=AE=CE=

12BC=5．

点评：此题考查的知识点是平行四边形的判定和性质及菱形的性质，解题的关键是运用平行四边形的性质和菱形的性质推出结论．

20. （2011浙江衢州，22，10分）如图，△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作

DE∥AB，DE与AC、AE分别交于点O、点E，连接EC．

（1）求证：AD=EC；

（2）当∠BAC=Rt∠时，求证：四边形ADCE是菱形．

考点：平行四边形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；菱形的判定。 专题：证明题。

分析：（1）先证四边形ABDE是平行四边形，再证四边形ADCE是平行四边形，即得AD=CE；

（2）由∠BAC=Rt∠，AD上斜边BC上的中线，即得AD=BD=CD，证得四边形ADCE是平行四边形，即证； 解答：（1）证明：∵DE∥AB，AE∥BC， ∴四边形ABDE是平行四边形，

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∴AE∥BD，且AE=BD 又∵AD是BC边上的中线， ∴BD=CD

∴AE∥CD，且AE=CD ∴四边形ADCE是平行四边形 ∴AD=CE

（2）证明：∵∠BAC=Rt∠，AD上斜边BC上的中线， ∴AD=BD=CD

又∵四边形ADCE是平行四边形 ∴四边形ADCE是菱形

点评：本题考查了平行四边形的判定和性质，（1）证得四边形ABDE，四边形ADCE为平行四边形即得；（2）由∠BAC=Rt∠，AD上斜边BC上的中线，即得AD=BD=CD，证得四边形ADCE是平行四边形，从而证得四边形ADCE是菱形．

21. （2011浙江舟山，23，12分）以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三

角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连接这四个点，得四边形EFGH．

（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD为矩

形时，请判断：四边形EFGH的形状（不要求证明）；

（2）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC＝α（0°＜α＜90°）， ①试用含α的代数式表示∠HAE； ②求证：HE＝HG；

③四边形EFGH是什么四边形？并说明理由．

考点：正方形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；菱形的判定与性质。 专题：证明题。

分析：（1）根据等腰直角三角形得到角都是直角，且边都相等即可判断答案；

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