江苏省泰州市2019届高三第一次模拟考试数学试卷（有答案）

2019届高三年级第一次模拟考试

数学

(满分160分，考试时间120分钟)

1

参考公式：柱体的体积V＝Sh，锥体的体积V＝Sh

3

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1. 函数f(x)＝sin 2x的最小正周期为________．

2. 已知集合A＝{4，a2}，B＝{－1，16}，若A∩B≠?，则实数a＝________． 3. 复数z满足zi＝4＋3i(i是虚数单位)，则|z|＝________．

4. 函数y＝1－x2的定义域是________．

5. 从1，2，3，4，5这五个数中随机取两个数，则这两个数的和为6的概率为________． 6. 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的T的值是________．

a5＋a3

7. 已知数列{an}满足log2an＋1－log2an＝1，则＝________．

a3＋a1

8. 若抛物线y2＝2px(p>0)的准线与双曲线x2－y2＝1的一条准线重合，则p＝________． 9. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，M为棱AA1的中点，记三棱锥A1MBC的体积为V1，

V1

四棱锥A1BB1C1C的体积为V2，则的值是________．

V2

10. 已知函数f(x)＝2x4＋4x2，若f(a＋3)>f(a－1)，则实数a的取值范围为________．

11. 在平面直角坐标系xOy中，过圆C1：(x－k)2＋(y＋k－4)2＝1上任一点P作圆C2：x2＋y2

＝1的一条切线，切点为Q，则当线段PQ的长最小时，k＝________．

→→→→→→

12. 已知P为平行四边形ABCD所在平面上任一点，且满足PA＋PB＋2PD＝0，λPA＋μPB＋PC＝0，则λμ＝________．

3

?x－3x＋2a，x≥a，

13. 已知函数f(x)＝?3若存在x0＜0，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是

?x＋3x－4a，x

________．

π1110<θ

2

为定值，则实数λ＝________． tan C

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15. (本小题满分14分)

1?已知向量a＝(sin x，1)，b＝??2，cos x?，其中x∈(0，π)．

(1) 若a∥b，求x的值；

(2) 若tan x＝－2，求|a＋b|的值．

16. (本小题满分14分)

如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，O为对角线BD的中点，E，F分别为棱PC，PD的中点，已知PA⊥AB，PA⊥AD.求证：

(1) 直线PB∥平面OEF； (2) 平面OEF⊥平面ABCD.

17. (本小题满分14分)

如图，三个小区分别位于扇形OAB的三个顶点上，Q是弧AB的中点，现欲在线段OQ上找一处开挖工作坑P(不与点O，Q重合)，为小区铺设三条地下电缆管线PO，PA，PB，已知OA＝2

π

千米，∠AOB＝，记∠APQ＝θ rad，地下电缆管线的总长度为y千米．

3

(1) 将y表示成θ的函数，并写出θ的范围；

(2) 请确定工作坑P的位置，使地下电缆管线的总长度最小．

18. (本小题满分16分)

x2y2

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左顶点为A，B是椭圆C上异

ab

于左、右顶点的任意一点，P是AB的中点，过点B且与AB垂直的直线与直线OP交于点Q，已

1

知椭圆C的离心率为，点A到右准线的距离为6.

2

(1) 求椭圆C的标准方程；

(2) 设点Q的横坐标为x0，求x0的取值范围．

19. (本小题满分16分)

设A，B为函数y＝f(x)图象上相异两点，且点A，B的横坐标互为倒数，过点A，B分别作函数y＝f(x)的切线，若这两条切线存在交点，则称这个交点为函数f(x)的“优点”．

?ln x，0

(1) 若函数f(x)＝?2不存在“优点”，求实数a的值；

?ax， x>1

(2) 求函数f(x)＝x2的“优点”的横坐标的取值范围； (3) 求证：函数f(x)＝ln x的“优点”一定落在第一象限．

20. (本小题满分16分)

已知首项不为0的数列{an}的前n项和为Sn，2a1＋a2＝a3，且对任意的n∈N，n≥2都有2nSn

＋1－(2n＋5)Sn＋Sn－1＝ra1.

(1) 若a2＝3a1，求r的值；

(2) 数列{an}能否是等比数列？说明理由； (3) 当r＝1时，求证：数列{an}是等差数列．

2019届高三年级第一次模拟考试

数学附加题

(本部分满分40分，考试时间30分钟)

21. 【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A. [选修42：矩阵与变换](本小题满分10分)

B. [选修44：坐标系与参数方程](本小题满分10分)

?

在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为?1

y＝?2＋t

1

x＝－t，2

(t为参数)，曲线C的参数方

?x＝－1＋2cos θ，程为?(θ为参数)．若直线l与曲线C相交于A，B两点，求线段AB的长．

?y＝2sin θ

C. [选修45：不等式选讲](本小题满分10分)

111

设正数a，b，c满足3a＋2b＋c＝1，求＋＋的最小值．

aa＋bb＋c

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22. (本小题满分10分)

如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝3，AB＝1. (1) 求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；

(2) 求平面A1BC与平面AC1D所成二面角的正弦值．

23. (本小题满分10分)

已知函数f(x)＝1－|2x－1|，0≤x≤1，设fn(x)＝fn－1(f1(x))，其中f1(x)＝f(x)，方程 fn(x)＝0和方程fn(x)＝1根的个数分别为gn(0)，gn(1)． (1) 求g2(1)的值；

(2) 证明：gn(0)＝gn(1)＋1.

2019届高三年级第一次模拟考试(七)(泰州)

数学参考答案

1

1. π 2. ±4 3. 5 4. [－1，1] 5. 6. 8

5

1

7. 4 8. 2 9. 10. (－1，＋∞) 11. 2

4

3512. － 13. [－1，0) 14.

410

15. (1) 因为a∥b，

1

所以sin xcos x＝，即sin 2x＝1.

2

π

因为x∈(0，π)，所以x＝.

4