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江苏省泰州市2019届高三第一次模拟考试数学试卷(有答案)

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2019届高三年级第一次模拟考试

数学

(满分160分,考试时间120分钟)

1

参考公式:柱体的体积V=Sh,锥体的体积V=Sh

3

一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分. 1. 函数f(x)=sin 2x的最小正周期为________.

2. 已知集合A={4,a2},B={-1,16},若A∩B≠?,则实数a=________. 3. 复数z满足zi=4+3i(i是虚数单位),则|z|=________.

4. 函数y=1-x2的定义域是________.

5. 从1,2,3,4,5这五个数中随机取两个数,则这两个数的和为6的概率为________. 6. 一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的T的值是________.

a5+a3

7. 已知数列{an}满足log2an+1-log2an=1,则=________.

a3+a1

8. 若抛物线y2=2px(p>0)的准线与双曲线x2-y2=1的一条准线重合,则p=________. 9. 如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,M为棱AA1的中点,记三棱锥A1MBC的体积为V1,

V1

四棱锥A1BB1C1C的体积为V2,则的值是________.

V2

10. 已知函数f(x)=2x4+4x2,若f(a+3)>f(a-1),则实数a的取值范围为________.

11. 在平面直角坐标系xOy中,过圆C1:(x-k)2+(y+k-4)2=1上任一点P作圆C2:x2+y2

=1的一条切线,切点为Q,则当线段PQ的长最小时,k=________.

→→→→→→

12. 已知P为平行四边形ABCD所在平面上任一点,且满足PA+PB+2PD=0,λPA+μPB+PC=0,则λμ=________.

3

?x-3x+2a,x≥a,

13. 已知函数f(x)=?3若存在x0<0,使得f(x0)=0,则实数a的取值范围是

?x+3x-4a,x

________.

π1110<θ

2

为定值,则实数λ=________. tan C

二、解答题:本大题共6小题,共计90分.解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

15. (本小题满分14分)

1?已知向量a=(sin x,1),b=??2,cos x?,其中x∈(0,π).

(1) 若a∥b,求x的值;

(2) 若tan x=-2,求|a+b|的值.

16. (本小题满分14分)

如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为平行四边形,O为对角线BD的中点,E,F分别为棱PC,PD的中点,已知PA⊥AB,PA⊥AD.求证:

(1) 直线PB∥平面OEF; (2) 平面OEF⊥平面ABCD.

17. (本小题满分14分)

如图,三个小区分别位于扇形OAB的三个顶点上,Q是弧AB的中点,现欲在线段OQ上找一处开挖工作坑P(不与点O,Q重合),为小区铺设三条地下电缆管线PO,PA,PB,已知OA=2

π

千米,∠AOB=,记∠APQ=θ rad,地下电缆管线的总长度为y千米.

3

(1) 将y表示成θ的函数,并写出θ的范围;

(2) 请确定工作坑P的位置,使地下电缆管线的总长度最小.

18. (本小题满分16分)

x2y2

如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:2+2=1(a>b>0)的左顶点为A,B是椭圆C上异

ab

于左、右顶点的任意一点,P是AB的中点,过点B且与AB垂直的直线与直线OP交于点Q,已

1

知椭圆C的离心率为,点A到右准线的距离为6.

2

(1) 求椭圆C的标准方程;

(2) 设点Q的横坐标为x0,求x0的取值范围.

19. (本小题满分16分)

设A,B为函数y=f(x)图象上相异两点,且点A,B的横坐标互为倒数,过点A,B分别作函数y=f(x)的切线,若这两条切线存在交点,则称这个交点为函数f(x)的“优点”.

?ln x,0

(1) 若函数f(x)=?2不存在“优点”,求实数a的值;

?ax, x>1

(2) 求函数f(x)=x2的“优点”的横坐标的取值范围; (3) 求证:函数f(x)=ln x的“优点”一定落在第一象限.

20. (本小题满分16分)

已知首项不为0的数列{an}的前n项和为Sn,2a1+a2=a3,且对任意的n∈N,n≥2都有2nSn

+1-(2n+5)Sn+Sn-1=ra1.

(1) 若a2=3a1,求r的值;

(2) 数列{an}能否是等比数列?说明理由; (3) 当r=1时,求证:数列{an}是等差数列.

2019届高三年级第一次模拟考试

数学附加题

(本部分满分40分,考试时间30分钟)

21. 【选做题】本题包括A、B、C三小题,请选定其中两小题,并作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

A. [选修42:矩阵与变换](本小题满分10分)

B. [选修44:坐标系与参数方程](本小题满分10分)

?

在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为?1

y=?2+t

1

x=-t,2

(t为参数),曲线C的参数方

?x=-1+2cos θ,程为?(θ为参数).若直线l与曲线C相交于A,B两点,求线段AB的长.

?y=2sin θ

C. [选修45:不等式选讲](本小题满分10分)

111

设正数a,b,c满足3a+2b+c=1,求++的最小值.

aa+bb+c

【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

22. (本小题满分10分)

如图,在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AA1=3,AB=1. (1) 求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值;

(2) 求平面A1BC与平面AC1D所成二面角的正弦值.

23. (本小题满分10分)

已知函数f(x)=1-|2x-1|,0≤x≤1,设fn(x)=fn-1(f1(x)),其中f1(x)=f(x),方程 fn(x)=0和方程fn(x)=1根的个数分别为gn(0),gn(1). (1) 求g2(1)的值;

(2) 证明:gn(0)=gn(1)+1.

2019届高三年级第一次模拟考试(七)(泰州)

数学参考答案

1

1. π 2. ±4 3. 5 4. [-1,1] 5. 6. 8

5

1

7. 4 8. 2 9. 10. (-1,+∞) 11. 2

4

3512. - 13. [-1,0) 14.

410

15. (1) 因为a∥b,

1

所以sin xcos x=,即sin 2x=1.

2

π

因为x∈(0,π),所以x=.

4

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