《双曲线及其标准方程》学案

《双曲线及其标准方程》学案一．双曲线的定义的探究

1. 复习：什么叫椭圆?

把平面内与两个定点F1,F2的距离之_____等于常数2a（____ _F1F2）的点的轨迹 叫做_________，这两个定点叫做_______的_______. 注意退化：当2a?F1F2时，其轨迹为 ； 当2a?F1F2时，其轨迹 ．

2.把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？ 如图定点F1,F2点M移动时，MF1?MF2是常数，这样就 画出一条曲线；由MF2?MF1是同一常数，可以画出另一支． 3..形成定义：

平面内与两定点F1,F2的距离的差的 等于常数2a (___F1F2)的点M的轨迹叫做_______.两定点F1,F2叫做双曲 线的 ，两____间的距离F1F2叫做______的 ．

注意变化：

(1)将定义中的“绝对值”去掉,动点轨迹有变化吗？轨迹是什么?

若改为：|MF1|-|MF2|=2a（2a

若改为：||MF1|-|MF2||=2a（2a=F1F2)，点M的轨迹是 若改为：|MF1|-|MF2|=2a（2a=F1F2)，点M的轨迹是 若改为：|MF2|-|MF1|=2a（2a=F1F2)，点M的轨迹是 （3）将定义中的“小于”换为“大于”,动点轨迹有变化吗？轨迹是什么?

若改为：|MF1|-|MF2||=2a（2a

二．双曲线的标准方程的探究

1.你能类比椭圆的标准方程的推导方法，得出双曲线的标准方程？ [动动手]： （(1)建立坐标系 (2)设点 (3)列式（4）化简 （5）说明）

结论:1.焦点在x轴上的双曲线，其焦点坐标分别为F1(______)和F2(______)，其标准方程 为___________________________ 其中a,b,c的关系为_________________. 2.焦点在

y轴上的双曲线，其焦点坐标分别为F(______)和F(______)，其标准方程

12 为___________________________ 其中a,b,c的关系为_________________.

3.双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即x项的系数是正的，那么焦点 在 轴上；y2项的系数是正的，那么焦点在 轴上。

2四. 练习精讲

1.判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出三量a,b,c的值,并写出焦点坐标.

x2y2x2y2??1 ②??1 ①4222x2y2???1 ④4y2?9x2?36 ③422.动点P到点F1(?2,0)及点F2(2,0)的距离之差为2，则点P的轨迹是（ ）． A. 双曲线 B. 双曲线的一支 C. 两条射线 D. 一条射线

x2y23.已知双曲线??1的左支上一点P到左焦点的距离为10，则点P到右焦点的距离

169 为 ．

4.点A(1,0)，B(?1,0)，若AC?BC?1，则点C的轨迹是 ．

x2y2??1的一个焦点为（2，0）5.双曲线，则m= （ ） m3?m A）

11?22?1 B）1或3 C） D） 222x2y2?6.若方程=1表示双曲线，则k的取值范围是 ( ) 3k?14k?1(A)(?11111111, ) (B)(?, ) (C)( ,?) (D)(-∞,?)∪(,+∞)

33344344227.“ab?0是方程ax?by?c表示双曲线”的 （ ）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 8..若双曲线5x?ky?5的一个焦点是（2，0），则k的值为 （ ） A.

225353 B.- C. D.- 3535x2?y2?1的左、右焦点，P、Q是右支上的两点，且直线PQ经 9.已知F1、F2是双曲线2 过F2，则PF1?QF1?PQ等于（ ）

A.8 B.22 C.42 D.不确定 10.求适合下列条件的双曲线的标准方程。

（1）焦点在在x轴上，a?4,c?5； （2）焦点在在y轴上，a?3,b?4； （3)焦点为F1(-3，0)、F2(3，0)，且过点（2，0）; (4)焦点的坐标是(-6，0)、(6，0)，并且经过点A(-5，2).

2211.求与两个定圆C1:?x?3??y?1和C2:?x?3??y?9同时都外切的动圆的圆心的

22 轨迹方程.

12.已知F1、F2是双曲线3x?5y?75的左、右焦点，点P是双曲线上一点，且 ?F1PF2?120,求?F1PF2的面积.

022作业练习：

1.若方程x2sin??y2cos??1表示焦点在y轴上的双曲线，则角?所在象限是（ ） A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

y2x2x2y2??1与椭圆?2?1有相同的焦点，则a的值为 。 2.若双曲线

16a4ax2y2??1，3.如果方程表示焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围为_________. m?2m?1x2y2??1的两个焦点，P是双曲线上的点，且PF4.若F1,F2是双曲线1PF2?32,则 916 △F1PF2的面积为_________________。

5.圆O的半径为定长r，A是圆O外一个定点，P是圆上任意一点。线段AP的垂直平分线 L和直线OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？

6.点A、B的坐标分别是（-5,0）（5,0），直线AM，BM相交于点M，且它们斜率之积是

4， 9 试求点M的轨迹方程，并由点M的轨迹方程判断轨迹的形状。

x2y2??1的左焦点，平面内存在一点A（1,4）7.已知F是双曲线，P是双曲线右支上的 412 动点，求PF?PA的最小值.