2012年全国各地中考数学解析汇编动态型问题 - 图文

题是中考的常考点，要注意掌握这类问题的解题方法.

24．（2012湖北咸宁，24，12分）如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），动点A以每秒1个单位长的速度，从点O出发沿x轴的正方向运动，M是线段AC的中点．将线段AM以点A为中心，沿顺时针方向旋转90?，得到线段AB．过点B作x轴的垂线，垂足为E，过点C作y轴的垂线，交直线BE于点D，运动时间为t秒．

y C D C y M O A B E x O 备用图

x （第24题）

（1）当点B与点D重合时，求t的值；

25? 4（3）连接MB，当MB∥OA时，如果抛物线y?ax2?10ax的顶点在△ABM内部（不

（2）设△BCD的面积为S，当t为何值时，S?包括边），求a的取值范围． 【解析】（1）易证得Rt△CAO∽Rt△ABE；当B、D重合时，BE的长已知（即OC长），根据AC、AB的比例关系，可得AO、BE的比例关系，由此求得t的值． （2）求△BCD的面积时，可以CD为底、BD为高来解，那么表示出BD的长是关键；Rt△CAO∽Rt△ABE，且知道AC、AB的比例关系，即可通过相似三角形的对应边成比例求出BE的长，进一步得到BD的长，在表达BD长时，应分两种情况考虑：①B在线段DE上，②B在ED的延长线上．

（3）通过配方法，可得抛物线的顶点坐标，将其横坐标分别代入直线MB、AB的解析式中，可得抛物线对称轴与这两条直线的交点坐标，根据这两个坐标即可判定出a的取值范围． 【答案】（1）∵?CAO??BAE?90?，?ABE??BAE?90?， ∴?CAO??ABE．

∴Rt△CAO∽Rt△ABE． ···················· 2分

CAAO， ?ABBE2ABt∴?，∴t?8． ···················· 3分

AB41（2）由Rt△CAO∽Rt△ABE可知：BE?t，AE?2． ······· 4分

211t25当0＜t＜8时，S?CD?BD?(2?t)(4?)?．

2224∴

∴t1?t2?3． ························ 6分 当t＞8时，S?CD?BD?(2?t)(?4)?

1212t225． 4

∴t1?3?52，t2?3?52（为负数，舍去）．

25． ················· 8分 41（3）如图，过M作MN⊥x轴于N，则MN?CO?2．

2当t?3或3?52时，S?y C x＝5 D B E O A （第24题） x

当MB∥OA时，BE?MN?2，OA?2BE?4． ··········· 9分 抛物线y?ax2?10ax的顶点坐标为（5，?25a）． ········· 10分 它的顶点在直线x?5上移动．直线x?5交MB于点（5，2），交AB于点（5，1）． ······························ 11分 ∴1＜?25a＜2．∴?21＜a＜?． ·············· 12分 2525【点评】本题是二次函数综合题，属于图形的动点问题，前两问的关键在于找出

相似三角形，得到关键线段的表达式，注意点在运动过程中未知数的取值范围问题．最后一问中，先得到抛物线的顶点坐标是简化解题的关键． 25．(2012贵州六盘水，25，16分)如图13，已知△ABC中，AB=10cm,AC=8cm,BC=6

cm ,如果点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm /s，连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤4）.解答下列问题： （1）当t为何值时，PQ∥BC.（4分）

2

（2）设△AQP的面积为S（单位：cm ），当t为何值时，S取得最大值，并求出

最大值.

（3）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC 的面积平分？若存在求出此时

t的值；若不存在，请说明理由.（3分）

（4）如图14，把△APQ沿AP翻折，得到四边形AQPQ°.那么是否存在某时刻t

使四边形AQPQ°为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由.（5分）

分析： （1）由PQ∥BC时的比例线段关系，列一元一次方程求解；

（2）如解答图1所示，过P点作PD⊥AC于点D，构造比例线段，求得PD，从而可以得到S的表达式，然后利用二次函数的极值求得S的最大值；

（3）要点是利用（2）中求得的△AQP的面积表达式，再由线段PQ恰好把△ABC的面积平分，列出一元二次方程；由于此一元二次方程的判别式小于0，则可以得出结论：不存在这样的某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分； （4）首先根据菱形的性质及相似三角形比例线段关系，求得PQ、QD和PD的长度；然后在Rt△PQD中，求得时间t的值；最后求菱形的面积，值得注意的是菱形的面积等于△AQP面积的2倍，从而可以利用（2）中△AQP面积的表达式，这样可以化简计算．

解答：解：∵AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，

∴由勾股定理逆定理得△ABC为直角三角形，∠C为直角．

（1）BP=2t，则AP=10﹣2t．

APAQ10?2t2t20??，解得t?∵PQ∥BC，∴，即，

9ABAC10820∴当t?s时，PQ∥BC．

9

（2）如答图1所示，过P点作PD⊥AC于点D．

APPD10?2tPD5??∴PD∥BC，∴，即，解得PD?6?t． ABBC106611555515S?AQ?PD??2t?(6?t) ??t2?6t??(t?)2?，

2266622515∴当t= s时，S取得最大值，最大值为cm2．

22

（3）假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，

1则有S△AQP= S△ABC，而S△ABC=AC?BC=24，∴此时S△AQP=12．

25由（2）可知，S△AQP=?t2?6t，

65∴?t2?6t?12，化简得：t2﹣5t+10=0，

6∵△=（﹣5）2﹣4×1×10=﹣15＜0，此方程无解，

∴不存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分．

（4）假设存在时刻t，使四边形AQPQ′为菱形，则有AQ=PQ=BP=2t． 如答图2所示，过P点作PD⊥AC于点D，则有PD∥BC， APPDAD10?2tPDAD????∴，即， ABBCAC106855解得：PD?6?t，AD?8?t，

68518∴QD=AD﹣AQ=8?t?2t?8?t．

85在Rt△PQD中，由勾股定理得：QD2+PD2=PQ2，

186即(8?t)2?(6?t)2?(2t)2，

552

化简得：13t﹣90t+125=0，

25解得：t1=5，t2=，

1325∵t=5s时，AQ=10cm＞AC，不符合题意，舍去，∴t=．

135由（2）可知，S△AQP=?t2?6t

6525?24002?625∴S菱形AQPQ′=2S△AQP=2×?t2?6t=2????()2?6???cm．

651313169??所以存在时刻t，使四边形AQPQ′为菱形，此时菱形的面积为

24002

cm． 169

点评：本题是非常典型的动点型综合题，全面考查了相似三角形线段比例关系、菱形的性质、勾股定理及其逆定理、一元一次方程的解法、一元二次方程的解法与判别式、二次函数的极值等知识点，涉及的考点众多，计算量偏大，有一定的难度．本题考查知识点非常全面，是一道测试学生综合能力的好题．