当前位置：首页 > 高三第二轮复习教案立体几何问题的题型与方法
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（3）求异面直线AB、CD所成的角.
解: (1) 过D向平面?做垂线，垂足为O，连强OA并延长至E.
?AB?AD,OA为DA在平面?上的射影,?AB?OA??DAE为二面角a—l—?的平面
角.?DAE?120?,??DAO?60?.?AD?AB?2,?DO?3.
??ABC是等腰直角三角形，斜边AB=2.?S?ABC?1,又D到平面?的距离DO=3.
?VD?ABC?33.
（2）过O在?内作OM⊥AC,交AC的反向延长线于M,连结DM.则AC⊥DM.∴∠DMO 为二面角D—AC—B的平面角. 又在△DOA中，OA=2cos60°=1.且
?OAM??CAE?45,?OM??22.?tan?DMO?6.??DMO?arctan6.
（3）在?平在内，过C作AB的平行线交AE于F，∠DCF为异面直线AB、CD所成的角. ?AB?AF,?CF?AF?CF?DF,又?CAF?45,即?ACF为等腰直角三角形，又AF等于C到AB的
?距离，即△ABC斜边上的高,?AF?CF?1.
?DF2?AD?AF?2AD?AFcos120?7.?tan?DCF?22?DFCF?7.?tan?DCF?7.异面直线
AB,CD所成的角为arctan7.
例10、在平面几何中有如下特性：从角的顶点出发的一条射线上任意一点到角两边的距离之比为定值。类比上述性质，请叙述在立体几何中相应地特性，并画出图形。不必证明。
类比性质叙述如下 ：
图
解：立体几何中相应地性质： β ⑴从二面角的棱出发的一个半平面内任意一点到二面角的两个面的的距离γ P B 之比为定值。
A ⑵从二面角的棱上一点出发的一条射线上任意一点到二面角的两个面 α O 的距离之比为定值。 A ⑶在空间，从角的顶点出发的一条射线上任意一点到角两边的距离 之比为定值。
M D ⑷在空间，射线OD上任意一点P到射线OA、OB、OC的距离之比不变。N ⑸在空间，射线OD上任意一点P到平面AOB、BOC、COA的 C B 距离之比不变。
说明：（2）——（5）还可以有其他的答案。
例11、已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，它被过底面中心O1且平行于母线AB的平面所截，若截面
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与圆锥侧面的交线是焦参数（焦点到准线的距离） 为p的抛物线.
（1）求圆锥的母线与底面所成的角； （2）求圆锥的全面积．
解: （1）设圆锥的底面半径为R，母线长为l，
由题意得：?l?2?R,
即cosACO1?Rl?12,
所以母线和底面所成的角为600.
（2）设截面与圆锥侧面的交线为MON，其中O为截面与 AC的交点，则OO1//AB且OO1?12AB.
在截面MON内，以OO1所在有向直线为y轴，O为原点，建立坐标系，则O为抛物的顶点，所以抛物线方程为x2=－2py，点N的坐标为（R，－R），代入方程得 2
R=－2p（－R），得R=2p，l=2R=4p.
∴圆锥的全面积为?Rl??R2?8?p2?4?p2?12?p2. 说明：将立体几何与解析几何相链接, 颇具新意, 预示了高考类似请思考如下问题:
一圆柱被一平面所截，截口是一个椭圆．已知椭圆的长轴长4，被截后几何体的最短侧面母
线长为1，则该几何体的体积等于 ．
例12、在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB＜CD，SD⊥AB=AD=a，S D=2a，在线段SA上取一点E（不含端点）使CDE与SB交于点F。
（1）求证：四边形EFCD为直角梯形； （2）求二面角B-EF-C的平面角的正切值； （3）设SB的中点为M，当
CDAB命题的新动向. 为5，短轴长为
平面ABCD，EC=AC，截面
S的值是多少时，能使△DMC
EFMDCB为直角三角形？请给出证明. 解：（1）∵ CD∥AB，AB?平面SAB ∴CD∥平面SAB 面EFCD∩面SAB=EF，
∴CD∥EF ∵?D?900,?CD?AD, 又SD?面ABCD
∴SD?CD ?CD?平面SAD，∴?EFCD为直角梯形
（2）?CD?平面SAD,EF∥CD,EF?平面SAD
?AE?EF,DE?EF,??AEDCD?ED又AEF?AB?CD
ED?CD,?Rt?CDE即为二面角D—EF—C的平面角 中EC2?ED2?CD2
?tan?AED?2
而AC2?AD2?CD2且AC?EC
?ED?AD??,??ADE为等腰三角形，??AED??EAD(3)当
CDAB?2时，?DMC为直角三角形 .
AB2
?AB?a,?CD?2a,BD??AD2?2a,?BDC?450 ?BC?2a,BC?BD,
平面ABCD,?SD?BC,?BC?平面SBD. 在?SBD中，SD?DB,M为SB中点，?MD?SB.
?SD??MD?平面SBC,MC?平面SBC, ?MD?MC??DMC为直角三角形。
例13、如图，几何体ABCDE中，△ABC是正三角形，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA=AB=2a， DC=a，F、G分别为EB和AB的中点.
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（1）求证：FD∥平面ABC； （2）求证：AF⊥BD；
(3) 求二面角B—FC—G的正切值. 解: ∵F、G分别为EB、AB的中点， ∴FG=
12EA，又EA、DC都垂直于面ABC, FG=DC，
∴四边形FGCD为平行四边形，∴FD∥GC，又GC?面ABC， ∴FD∥面ABC. （2）∵AB=EA，且F为EB中点，∴AF⊥EB ① 又FG∥EA，EA⊥面ABC ∴FG⊥面ABC ∵G为等边△ABC，AB边的中点，∴AG⊥GC. ∴AF⊥GC又FD∥GC，∴AF⊥FD ② 由①、②知AF⊥面EBD，又BD?面EBD，∴AF⊥BD. （3）由（1）、（2）知FG⊥GB，GC⊥GB，∴GB⊥面GCF.
过G作GH⊥FC，垂足为H，连HB，∴HB⊥FC. ∴∠GHB为二面角B-FC-G的平面角.
易求GH?32a,?tan?GHB?a32a?233
.
例14、如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，
P、Q分别是线段AD1和BD上的点， 且D1P∶PA=DQ∶QB=5∶12. (1) 求证PQ∥平面CDD1C1； (2) 求证PQ⊥AD； (3) 求线段PQ的长.
解：（1）在平面AD1内，作PP1∥AD与DD1交于点P1，在平面AC内，作
QQ1∥BC交CD于点Q1，连结P1Q1.
D1P?DQQB?512 ∵
PA//, ∴PP1QQ1 .
由四边形PQQ1P1为平行四边形, 知PQ∥P1Q1，而P1Q1?平面CDD1C1， 所以PQ∥平面CDD1C1
（2）?AD⊥平面D1DCC1， ∴AD⊥P1Q1，又∵PQ∥P1Q1， ∴AD⊥PQ.
//（3）由（1）知P1Q1DQ1Q1CDQQB512 PQ,
512??，而棱长CD=1. ∴DQ1=17. 同理可求得 P1D=17.
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在Rt△P1DQ1中，应用勾股定理, 立得P1Q1=
?12??5???????17??17?22P1D2?DQ2??1317.
做为本题的深化, 我们提出这样的问题： P, Q分别是BD, AD1上的动点,试求PQ的最小值, 请应用函数方法计算， 并与如下2002年全国高考试题做
可以得到一些启示。
C以对照,
如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1,ABCD、ABEF互相垂直。点M在AC上移动，点
D移动，若CM=BN=a(0?a?2).
M（1） 求MN的长；
（2） 当a为何值时，MN的长最小；
（3） 当MN长最小时，求面MNA与面MNB
成的二面角?的大小。
B立体几何知识是复课耗时较多, 而考试得分型. 只有放底起点, 依据课本, 熟化知识, 构建空N络, 掌握解三角形的基本工具, 严密规范表述, 定答立几考题的道道难关.
AF
例15、（2004年北京春季高考题）如图， 四棱锥S?ABCD的底面是边长为1的正方形，
S而且平面N在BF上
所
E偏底的题间思维网会突破解
DCAB 。 SD垂直于底面ABCD，
（I）求证BC?SC； （II）求面ASD与面BSC所成二面角的大小； （III）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小。
分析：本小题主要考查直线与平面的位置关系等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。
（I）证明：如图1
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