2016年辽宁省沈阳市中考数学试卷（含答案）

∵DF是⊙O的切线，D为切点， ∴OD⊥DF， ∴∠ODF=90°． ∵BD=CD，OA=OB， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC，

∴∠CFD=∠ODF=90°， ∴DF⊥AC．

（2）解：∵∠CDF=30°， 由（1）得∠ODF=90°，

∴∠ODB=180°﹣∠CDF﹣∠ODF=60°． ∵OB=OD，

∴△OBD是等边三角形， ∴∠BOD=60°， ∴

的长=

=

=π．

【点评】本题考查了切线的性质、弧长公式、平行线的性质、三角形中位线定理以及等边三角形的判断，解题的关键是：（1）求出∠CFD=∠ODF=90°；（2）找出△OBD是等边三角形．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，通过角的计算找出90°的角是关键．

22．倡导健康生活，推进全民健身，某社区要购进A，B两种型号的健身器材若干套，A，B两种型号健身器材的购买单价分别为每套310元，460元，且每种型号健身器材必须整套购买．

（1）若购买A，B两种型号的健身器材共50套，且恰好支出20000元，求A，B两种型号健身器材各购买多少套？

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（2）若购买A，B两种型号的健身器材共50套，且支出不超过18000元，求A种型号健身器材至少要购买多少套？

【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．

【分析】（1）设购买A种型号健身器材x套，B型器材健身器材y套，根据：“A，B两种型号的健身器材共50套、共支出20000元”列方程组求解可得；

（2）设购买A型号健身器材m套，根据：A型器材总费用+B型器材总费用≤18000，列不等式求解可得． 【解答】解：（1）设购买A种型号健身器材x套，B型器材健身器材y套， 根据题意，得：解得：

，

，

答：购买A种型号健身器材20套，B型器材健身器材30套．

（3）设购买A型号健身器材m套，

根据题意，得：310m+460（50﹣m）≤18000， 解得：m≥33， ∵m为整数， ∴m的最小值为34，

答：A种型号健身器材至少要购买34套．

【点评】本题主要考查二元一次方程组与一元一次不等式的应用，审清题意得到相等关系或不等关系是解题的关键．

23．如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点O为坐标原点，点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，1），点C为边AB的中点，正方形OBDE的顶点E在x轴的正半轴上，连接CO，CD，CE． （1）线段OC的长为

；

（2）求证：△CBD≌△COE；

（3）将正方形OBDE沿x轴正方向平移得到正方形O1B1D1E1，其中点O，B，D，E的对应点分别为点O1，B1，D1，E1，连接CD，CE，设点E的坐标为（a，0），其中a≠2，△CD1E1的面积为S． ①当1＜a＜2时，请直接写出S与a之间的函数表达式； ②在平移过程中，当S=时，请直接写出a的值．

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【考点】四边形综合题．

【分析】（1）由点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，1），利用勾股定理即可求得AB的长，然后由点C为边AB的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可求得线段OC的长；

（2）由四边形OBDE是正方形，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，易得BD=OE，BC=OC，∠CBD=∠COE，即可证得：△CBD≌△COE；

（3）①首先根据题意画出图形，然后过点C作CH⊥D1E1于点H，可求得△CD1E1的高与底，继而求得答案； ②分别从1＜a＜2与a＞2去分析求解即可求得答案．

【解答】解：（1）∵点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，1）， ∴OA=4，OB=1， ∵∠AOB=90°， ∴AB=

=

，

∵点C为边AB的中点， ∴OC=AB=故答案为：

（2）证明：∵∠AOB=90°，点C是AB的中点， ∴OC=BC=AB， ∴∠CBO=∠COB， ∵四边形OBDE是正方形， ∴BD=OE，∠DBO=∠EOB=90°， ∴∠CBD=∠COE， 在△CBD和△COE中，

； ．

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，

∴△CBD≌△COE（SAS）；

（3）①解：过点C作CH⊥D1E1于点H， ∵C是AB边的中点， ∴点C的坐标为：（2，）

∵点E的坐标为（a，0），1＜a＜2， ∴CH=2﹣a，

∴S=D1E1?CH=×1×（2﹣a）=﹣a+1；

②当1＜a＜2时，S=﹣a+1=， 解得：a=；

当a＞2时，同理：CH=a﹣2，

∴S=D1E1?CH=×1×（a﹣2）=a﹣1， ∴S=a﹣1=， 解得：a=，

综上可得：当S=时，a=或．

【点评】此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质以及三角形面积问题．注意掌握辅助线的作法，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．

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