2017-2018学年高中数学人教A版选修2-2学案：第一章 1.2 第一课时 几个常用函数的导数和基本函数的导数公式

导数的计算

第一课时 几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式

预习课本P12～14，思考并完成下列问题

(1)函数y＝c，y＝x，y＝x1，y＝x2，y＝x的导数分别是什么？能否得出y＝xn的导数

－

公式？

(2)正余弦函数的导数公式、指数函数、对数函数的导数公式是什么？

[新知初探]

1．几种常用函数的导数

函数 f(x)＝c(c为常数) f(x)＝x f(x)＝x2 1f(x)＝x f(x)＝x [点睛] 对几种常用函数的导数的两点说明 (1)以上几个常用函数的导数是求解其他函数的导数的基础，都是通过导数的定义求得的，都属于幂函数的导数．

(2)以上几个常见的导数公式需记牢，在求导数时，可直接应用，不必再用定义去求导． 2．基本初等函数的导数公式

原函数 f(x)＝c(c为常数) f(x)＝xα(α∈Q*) 原函数 f(x)＝sin x f(x)＝cos x 导函数 f′(x)＝0 f′(x)＝αxα1 －导数 f′(x)＝0 f′(x)＝1 f′(x)＝2x 1f′(x)＝－2 x1f′(x)＝ 2x导函数 f′(x)＝cos_x f′(x)＝－sin_x

f(x)＝ax(a>0且a≠1) f(x)＝ex f(x)＝logax(a>0且a≠1) f(x)＝ln x [小试身手] 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) 1

(1)若y＝2，则y′＝×2＝1.( )

2(2)若f′(x)＝sin x，则f(x)＝cos x．( ) 13

(3)f(x)＝3，则f′(x)＝－4.( )

xx答案：(1)× (2)× (3)√ 2．下列结论不正确的是( ) A．若y＝0，则y′＝0 C．若y＝x1，则y′＝－x2

－

－

f′(x)＝axln_a f′(x)＝ex 1f′(x)＝ xln a1f′(x)＝ xB．若y＝5x，则y′＝5 111

D．若y＝x，则y′＝x 222

答案：D

2π

3．若y＝cos，则y′＝( )

3A．－

3

2

1

B．－

21D. 2

C．0 答案：C

11?

4．函数y＝x在点??4，2?处切线的倾斜角为( ) πA. 6πC. 3答案：B

利用导数公式求函数导数

[典例] 求下列函数的导数．

πB. 43πD. 4

15

(1)y＝x12；(2)y＝4；(3)y＝x3；(4)y＝3x；

x(5)y＝log5x.

[解] (1)y′＝(x12)′＝12x11.

1?4－4－5

4′＝(x)′＝－4x＝－5. (2)y′＝??x?x33?5(3)y′＝(x)′＝(x)′＝x.

55

532(4)y′＝(3x)′＝3xln 3. (5)y′＝(log5x)′＝

求简单函数的导函数有两种基本方法 (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；

(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．

[活学活用]

求下列函数的导数：

1?x1

(1)y＝lg x；(2)y＝?；(3)y＝xx；(4)y＝logx. ?2?3ln x?解：(1)y′＝(lg x)′＝??ln 10?′＝

1

. xln 10

1. xln 5

?1?x?′＝?1?xln 1＝－?1?xln 2. (2)y′＝???2???2?2?2?

3313

(3)y′＝(xx)′＝(x)′＝x＝x.

2222111

logx?′＝(4)y′＝?＝－. ?3?1xln 3

xln3

利用导数公式求切线方程 1[典例] 已知曲线y＝. x

(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程； (2)求曲线过点Q(1,0)处的切线方程． 11

[解] ∵y＝x，∴y′＝－2. x

1

(1)显然P(1,1)是曲线上的点，所以P为切点，所求切线斜率为函数y＝x在点P(1,1)的导数，即k＝f′(1)＝－1.

所以曲线在P(1,1)处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即为y＝－x＋2. 1

(2)显然Q(1,0)不在曲线y＝x上，

1a， a?， 则可设过该点的切线的切点为A???1那么该切线斜率为k＝f′(a)＝－2.

a11

则切线方程为y－＝－2(x－a)．①

aa11

将Q(1,0)代入方程：0－a＝－2(1－a)．

a

1将得a＝，代入方程①整理可得切线方程为y＝－4x＋4.

2

利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况

(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．

(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解． [活学活用]

当常数k为何值时，直线y＝x与曲线y＝x2＋k相切？请求出切点． 解：设切点为

?0?2A(x0，x2＋k)．∵y′＝2x，∴0

?x0＋k＝x0，?

?2x＝1，

?

∴?1

k＝?4，

1x0＝，2

11?1

故当k＝时，直线y＝x与曲线y＝x2＋k相切，且切点坐标为??2， 2?. 4

导数的简单综合应用 π

[典例] (1)质点的运动方程是S＝sin t，则质点在t＝时的速度为________；质点运动

3的加速度为________．

(2)已知两条曲线y＝sin x，y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．

[解析] (1)v(t)＝S′(t)＝cos t， π?π1∴v?＝cos ＝. ?3?32π1即质点在t＝时的速度为. 32∵v(t)＝cos t，

∴加速度a(t)

＝v′(t)＝(cos t)′＝－sin t. 1

答案： －sin t

2

(2)解：由于y＝sin x，y＝cos x，设这两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)．∴两条曲线在P(x0，y0)处的斜率分别为k1＝cos x0，k2＝－sin x0.

若使两条切线互相垂直，必须cos x0·(－sin x0)＝－1， 即sin x0·cos x0＝1，也就是sin 2x0＝2，这是不可能的． ∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．

导数的综合应用的解题技巧

(1)导数的几何意义为导数和解析几何的沟通搭建了桥梁，很多综合问题我们可以数形结合，巧妙利用导数的几何意义，即切线的斜率建立相应的未知参数的方程来解决，往往这是解决问题的关键所在．

(2)导数作为重要的解题工具，常与函数、数列、解析几何、不等式等知识结合出现综合大题．遇到解决一些与距离、面积相关的最值、不等式恒成立等问题．可以结合导数的几何意义分析．

[活学活用]

2

曲线y＝x在点(1,1)处的切线与x轴、直线x＝2所围成的三角形的面积为( )

358254A. B. C. D. 391212

212

解析：选C 可求得y′＝x－，即y′|x＝1＝，切线方程为2x－3y＋1＝0，与x轴

33311?1?525?2，5?，－，0?，的交点坐标为?与x＝2的交点坐标为围成三角形面积为×2＋×＝. ?2??3?2?2?312

层级一 学业水平达标

1．已知函数f(x)＝x3的切线的斜率等于3，则切线有( ) A．1条 C．3条

B．2条 D．不确定

解析：选B ∵f′(x)＝3x2＝3，解得x＝±1.切点有两个，即可得切线有2条． 2．曲线y＝ex在点A(0,1)处的切线斜率为( ) A．1 C．e

B．2 1

D. e