《数学分析》（华师大二版）课本上的习题21复习进程

数学分析》二版)课本上21

华师大习题

《(的第二十一章 重积分（续）与含参量非正常积分 P.328 二重积分中一些问题的讨论

1. 设E?{Pn}是R2中收敛点列.证明：E是零面积集合.

2. 设R2上有界点集A、B都是零面积集合.证明：A?B、A?B也是零面积集合. 3. 证明：若有界点集E?R2是零面积集合，则函数f(x,y)?1在E上可积，且

?积的.

Ef?0.

4. 设点集S1,S2都是可求面积的，证明：S1?S2、S1?S2和S1S2也都是可求面

5. 设E,D为R2上可求面积区域，且E?D.证明：若函数f在D上可积，则f在E上也可积，且当f为D上非负函数时有?f??f.

ED6. 设

q?1?,若x,y都是有理数，且x?f(x,y)??p p，?0,其他情形?为定义在D?[0,1]?[0,1]上函数.证明： （1）f在D上可积；

（2）若x取(0,1)中任一有理数p，则f(p,y)在[0,1]上不可积.

7. 设变换T如定理21.4所设，???G?为uv平面上可求面积区域，Q(u0,v0)???,

??T(??).证明：当d(??)?0(??退缩到Q)时，有lim???J(u0,v0). ???

P.334 n重积分 1. 计算五重积分

?????dxdydzdudv,

V 其中V:x2?y2?z2?u2?v2?r2.

2. 计算四重积分 ????V1?x2?y2?z2?u2dxdydz, 22221?x?y?z?u 其中V:x2?y2?z2?u2?1. 3. 求n维角锥xi?0,xx1x2????n?1,ai?0(i?1,2,?,n)的体积. a1a2an22???xn?R2上的n(?2)重积分 4. ?:x12?x2???f(?22x12?x2???xn)dx1dx2?dxn

化为单重积分，其中f(u)为连续函数.

5.（1）是仿照本章§3零面积集合概念定义Rn中集合E的零容度概念. （2）设V为n维长方体，f为V上有界函数，E?V为零容度集合.证明：若f在

V\\E上连续，则f在V上可积.

（3）设Vn为维长方体，f为V上可积函数.证明：f的图形

G(f)?{(x,y)y?f(x),x?V?Rn,y?R} 是Rn?1中的零容度集合.

P.350 含参量非正常积分 1. 证明下列各题 ： （1）???1y2?x2 dx在R上一致收敛；22(x?y) （2）???0??e?x2ydy在[a,b](a?0)上一致收敛；

（3）?xe?xydy,(i)在[a,b](a?0)上一致收敛;

0 (ii)在[0,b]上不一致收敛；

11 （4）?ln(xy)dy在[,b](b?1)上一致收敛；

0b （5）?10dx在(??,b](b?1)上一致收敛. xyb?xya?ax??ee?ax?e?bx?e?bxdy?dx(b?a?0). 出发，计算积分?0xx2. 丛等式?e3. 应用定理21.8计算下列积分(其中??0,??0): (1) ???0??x??ee??x?e??x?e??xdx; (2) ?sinxdx.

0xx224. 计算下列?函数的值：

5511?(),?(?),?(?n),?(?n). 22225. 运用欧拉积分计算下列积分(其中n为自然数)： （1）?10x?x2dx; （2）?x2ne?xdx;

0??2?640?0 （3）?2sinxcosxdx; （4） ?2sin2nxdx;

? （5）?2sin2n?1xdx.

06. 回答下列问题：

（1） 对极限lim??2xye?xydy能否施行极限与积分运算顺序的交换来求

x?00??2解？

（2） 对?dy?(2y?2xy)e00??21??3?xy2dx能否运用积分顺序交换来求解？

（3） 对F(x)??x3e?xydy能否运用积分与求导运算顺序交换来求解？

07. 设f为[a,b]?[c,??)上连续非负函数， I(x)????cf(x,y)dy

在[a,b]上连续，证明I(x)在[a,b]上一致收敛.

8. 证明：若f为[a,b]?[c,??)上连续函数，含参量非正常积分 I(x)????cf(x,y)dy

在[a,b)上收敛，在x?b发散，则I(x)在[a,b)上不一致收敛.