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1. 编程实现以下科学计算算法，并举一例应用之。（参考书籍《精通MATLAB科学计算》，王正林等著，电子工业出版社，2009年） “牛顿下山法求非线性方程组解” 解： 算法说明：
牛顿下山法的迭代公式为：
Xn+1= xn -ω(F(xn))-1F(xn)
ω的取值范围为0<ω≤1,为了保证收敛，还要要求ω的取值使得：
‖F(xn+1)‖<‖F(xn)‖
可以用逐次减半法来确定ω。为了减少计算量，还可以用差商来代替偏导数。在MATLAB中编程实现的非线性方程组的牛顿下山法的函数为：mulDNewton。
功能：用牛顿下山法求非线性方程组的一个解。 调用格式：[r,n]=mulDNewton(x0,eps)。 其中，x0为初始迭代向量； eps为迭代精度； r为求出的解向量； n为迭代步数。
牛顿下山法的MATLAB代码如下：
function [r,n]=mulDNewton(x0,eps)
%牛顿下山法求非线性方程组的一个解 %初始迭代向量：x0 %迭代精度：eps
%解向量：r %迭代步数：n
if nargin==1 eps=1.0e-4; end
r=x0-myf(x0)/dmyf(x0); n=1; tol=1; while tol>eps x0=r; ttol=1; w=1;
F1=norm(myf(x0));
while ttol>=0 %下面的循环是选取下山因子w的过程 r=x0-w*myf(x0)/dmyf(x0); %核心的迭代公式 ttol=norm(myf(r))-F1; w=w/2; end
tol=norm(r-x0); n=n+1;
if (n>100000) %迭代步数控制 disp('迭代步数太多，可能不收敛！'); return; end end
实例：牛顿下山法求解非线性方程组应用实例。采用牛顿下山法求下面方程组的一个根。
0.5sinx1+0.1cos(x1x2)- x1=0 0.5cosx1-0.1sinx2–x2 =0 其初始迭代值取（0,0）。
解：首先建立myf.m函数文件，输入以下内容：
function f=myf(x)
f(1)=0.5*sin(x(1))+0.1*cos(x(2)*x(1))-x(1);
f(2)=0.5*cos(x(1))-0.1*sin(x(2))-x(2); f=[f(1) f(2)];
再建立dmyf.m导数的雅克比矩阵，输入以下内容：
function df=dmyf(x)
df=[0.5*cos(x(1))-0.1*x(2)*sin(x(2)*x(1))-1 -0.1*x(1)*sin(x(2)*x(1)); -0.5*sin(x(1)) -0.1*cos(x(2))-1];
然后，在MATLAB命令窗口中输入：
>> [r,n]=mulDNewton([0,0])
输出计算结果为：
r =
0.1979 0.4470 n = 5
由计算结果可知，初始迭代值取（0,0）时，用5步迭代得到了方程组的一组解（0.1979,0.4470），牛顿下山法也是一种快速且有效的求解非线性方程组的方法。 流程图： ⑴ 源程序
开始 r=x0-myf(x0)/dmyf(x0); n=1;tol=1; 否
tol>eps 是
否 是 ttol>=0 x0=r;ttol=1; w=1;F1=norm(myf(x0));
否 r=x0-w*myf(x0)/dmyf(x0); ttol=norm(myf(r))-F1; w=w/2; tol=norm(r-x0); n=n+1; n>100000 是
disp('迭代步数太多，可能不收敛！'); 结束
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