免费的南大历年《量子力学》的真题

南京大学1998年硕士研究生考试试题——量子力学

???(一) 20分 有半壁无限高势垒的一维阱 V?x???0?V?0x?00?x?a x?a在E?V0的情形下，该系统是否总存在一个束缚态？如果回答是否定的，那么系统中至少有一个束缚态的存在的充要条件是什么？

（二）20分 一个取向用角坐标?和?确定的转子，作受碍转动，用下述哈密顿量描述：

?2是角动量平方算符，??AL?2?B?2cos?2??，式中A和B均为常数，且A??B，LH试用一级微扰论计算系统的p能级（l?1）的分裂，并标出微扰后的零级近似波函数。 （三）20分求在一维无限深势阱中，处于?n?x?态时的粒子的动量分布几率?n?p? 。 （四）20分 试判断下列诸等式的正误，如果等式不能成立，试写出正确的结果： （1）e???i?p????i??x???pj?1i?22?e????xj?e ？式中i?和?j分别是x和y方向的单位矢量。

?x,p?xf?x??p?x??（2）?p?i?x??xf(x) ？式中pp'??i?x ，

??（3）系统的哈密顿算符为H??2p2?12???2p2????V?r? ，设?n?r?是归一化的束缚态波函数，则有：

?n?n??nr??V?r??n ？

??H??H? ，其中（五）20分碱金属原子处在z方向的外磁场B中，微扰哈密顿为H1lsB??Hls??eB??1dV???LZ?2SZ ， ??L?S ，HB?222?c?rdr?2?c1??当外磁场很弱时，那些力学量算符是运动积分（守恒量），应取什么样的零级近似波函数，能使微扰计算比较简单，为什么？ 注： Ylm??2l?1??l?4?m?!?l?1im???cos?e Plm?!1/2mP1?x??x；P1?x??

01?1?x?21/22；P2?x??3?1?x?x

P2?x??3?1?x2?

2南京大学1999年硕士研究生考试试题——量子力学

专业: 理论物理、粒子物理与原子核物理

2 (20分) 一、 t＝0时，粒子的状态为?(x)?A[sinkx]，求此时动量的可能测值和相应的几

率，并计算动量的平均值。

二、粒子被约束在半径为 r的圆周上运动

(20分) (a) 设立“路障”进一步限制粒子在0????0的一段圆弧上运动：

?0V(?)????(0????0)(?0???2?)

求解粒子的能量本征值和本征函数。

(10分) (b) 设粒子处在情形(a)的基态，求突然撤去“路障”后，粒子仍然处于最

低能量态的几率是多少?

(20分) 三、边长为 a的刚性立方势箱中的电子，具有能量

试求对能量的一级修正(式中b为常数)。

(15分) 四、 对自旋为1／2的粒子，Sy和 Sz是自旋角动量算符，求ASy+BSz的本征函数和本

征值(A和B是实常数)。

(15分) 五、已知t=0时，一维自由粒子波函数在坐标表象和动量表象的表示分别是

3??ma222 ，如微扰哈密顿H1?bxy，

?(x)?Nxexp(??x)exp(ip0x/h)； ?(p)?c(p?p0)exp[?b(p?p0)2]

式中N、?、c、b和p0都是已知实常数．试求t=0和t>0时粒子坐标和动量的平均值,?2x?t?0???p?t?0??，（????表示力学量算符A?A的平均值）。

* ?0

xe2?ax2dx?14a?a

南京大学2000年硕士研究生入学考试试题——量子力学

专业:理论物理,凝聚态物理,光学等

一. 一维谐振子处在?(x)???1/2e122??x2状态, ??m??, 求:

(1) 势能的平均值 (7分) (2) 动能的几率分布函数 (7分) (3) 动能的平均值 (7分) 提示:?????e?(x?i?)2dx??

x?0???二. 质量为m的粒子在一维势场V(x)??0 0?x?a中运动,求,

?Vx?a?0(1) 决定束缚态能级的方程式 (15分)

(2) 至少存在一个束缚态的条件 (5分)

??x?0,x?a三. 质量为m的粒子在一维势场V(x)?? 中运动,其中c是小的实常

cx0?x?a?数，试用微扰论求准到c一次方的基态能量. (20分)

四. 两个自旋

12的非全同粒子系的哈密顿量

???????J[S(1)?SH(2)] Js?0

?的能量本征值和相应的简并度. (20分) 求Hs

?五．(1) 设氢原子处于沿z方向的均匀静磁场B中, 不考虑自旋,在弱磁场情形下求n=2能级

的分裂情况. (10分)

(2) 如果沿z方向不仅有均匀静磁场B,还有均匀静电场E, 再用微扰论求n=2能级的分

裂情况. (9分)

提示: 200z210

????3a

南京大学2001年硕士研究生入学考试试题———量子力学

专业： 理论物理、、凝聚态物理、光学等

一、有一质量为?的粒子处于长度为a的一维无限深势阱中V?x???刻，粒子的状态由波函数??x???1.

2. 3. 4.

?0,x?0;x?a?Ax(a?x),0?x?a??,x?0;x?a?0,0?x?a，在t=0时

描述。求： （20分）

归一化常数A;

粒子能量的平均值；

t=0时刻，粒子能量的几率分布；

人艺t>0时刻的波函数的级数表达式。

提示：

?n?1,3,5???1n4??496

二、考虑势能为V?x????V0,x?0?0,x?0的一维系统，其中V0为正常数。若一能量为E的粒子从x???处入射，其透射系数和反射系数各为多少？考虑E的所有可能值。（20分） 三、有一质量为?的粒子，在一维谐振子势场V?x??1212??x中运动。在动能T?22p22?的非相对

1论极限下，基态能E0???，基态波函数为?0?x???1c2????4???2?x?。考虑T与p?exp???????2??的关系的相对论修正，计算基态能级的移动?E至阶。（c为光速）（20分）

四、氯化钠晶体中有些负离子空穴，每个空穴束缚一个电子。可将这些电子看成束缚在一个尺

度为晶格常数的三维无限深势阱中。晶体处于室温，试粗略地估计被这些电子强烈吸收的电磁波的最长的波长。 （20分）

提示：电子质量mc1220?0.511MeV,?c?197MeV?fm，晶格常数a?1A

五、考虑自旋S??的系统，

??BS?的本征值和归一化本征波函数；??AS1．求算符T（A、B为实常数） yz?结果为???的某一个本征态上，求此时测量S2．若此时系统正处在Ty????（20?的几率。

2?分）