matlab数模经典应用

第二步：求AX=b的一个特解 第三步：求AX=0的通解

第四步：AX=b的通解= AX=0的通解+AX=b的一个特解。

例5-5 求解方程组

?x1?2x2?3x3?x4?1??3x1?x2?5x3?3x4?2 ??2x1?x2?2x3?2x4?3解：在Matlab编辑器中建立M文件：LX0720.m

A=[1 -2 3 -1;3 -1 5 -3;2 1 2 -2]; b=[1 2 3]'; B=[A b]; n=4;

R_A=rank(A) R_B=rank(B) format rat

if R_A==R_B&R_A==n %判断有唯一解 X=A\\b

elseif R_A==R_B&R_A

C=null(A,'r') %求AX=0的基础解系 else X='equition no solve' %判断无解 end

运行后结果显示： R_A =

2 R_B =

3 X =

equition no solve 说明该方程组无解

例5-6 求解方程组的通解：

?x1?x2?3x3?x4?1??3x1?x2?3x3?4x4?4 ??x1?5x2?9x3?8x4?0解法一：在Matlab编辑器中建立M文件：LX07211.m A=[1 1 -3 -1;3 -1 -3 4;1 5 -9 -8]; b=[1 4 0]'; B=[A b]; n=4;

R_A=rank(A)

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R_B=rank(B) format rat

if R_A==R_B&R_A==n X=A\\b

elseif R_A==R_B&R_A

C=null(A,'r')

else X='Equation has no solves' end

运行后结果显示为： R_A = 2 R_B = 2

Warning: Rank deficient, rank = 2 tol = 8.8373e-015. > In D:\\Matlab\\pujun\\lx0723.m at line 11 X =

0 0 -8/15 3/5 C =

3/2 -3/4 3/2 7/4 1 0 0 1 所以原方程组的通解为

?3/2???3/4??0???????3/27/40?+k2??+?? X=k1??1??0???8/15??0??1??3/5???????解法二：在Matlab编辑器中建立M文件：LX07212.m A=[1 1 -3 -1;3 -1 -3 4;1 5 -9 -8]; b=[1 4 0]'; B=[A b];

C=rref(B) %求增广矩阵的行最简形，可得最简同解方程组。 运行后结果显示为： C =

1 0 -3/2 3/4 5/4 0 1 -3/2 -7/4 -1/4

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0 0 0 0 0 对应齐次方程组的基础解系为：

?3/2???3/4?????3/27/4?， ?2??? ?1??10?????0??1?????

非齐次方程组的特解为：

?5/4?

???1/4? ?*??

?0??0???

所以，原方程组的通解为：

X=k1?1+k2?2+?*

六、特征值与二次型

工程技术中的一些问题，如振动问题和稳定性问题，常归结为求一个方阵的特征值和

特征向量。

6.1 方阵的特征值与特征向量

设A为n阶方阵，如果数入和n维列向量x使得关系式

Ax??x

成立，则称?为方阵A的特征值，非零向量x称为A对应于特征值入的特征向量。 在Matlab中，用如下几种调用格式来求A的特征值和特征向量。 1.d=eig(A) % d为矩阵A的特征值排成的向量

2.[V, D]=eig(A) % D为A的特征值对角阵，V的列向量为对应特征值的特征向量（且为单位向量）

3.[V, D]=eig(A，'nobalance?) % 当A中有小到和截断误差相当的元素时，用nobalance选项，其作用是减少计算误差

??211???例6-1 求矩阵A??020?的特征值和特征向量

??413???解：在Matlab编辑器中建立M文件：LX0722.m A=[-2 1 1;0 2 0;-4 1 3]; [V,D]=eig(A)

运行后结果显示： V =

-0.7071 -0.2425 0.3015

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0 0 0.9045 -0.7071 -0.9701 0.3015 D =

-1 0 0 0 2 0 0 0 2

即：特征值-1对应特征向量(-0.7071 0 -0.7071)T

特征值2对应特征向量(-0.2425 0 -0.9701)T和(-0.3015 0.9045 -0.3015)T

??110???例6-2 求矩阵A???430?的特征值和特征向量

?102???解：在Matlab编辑器中建立M文件：LX0723.m A=[-1 1 0;-4 3 0;1 0 2]; [V,D]=eig(A)

运行后结果显示为 V =

0 0.4082 -0.4082 0 0.8165 -0.8165

1.0000 -0.4082 0.4082 D =

2 0 0 0 1 0 0 0 1

说明：当特征值为1 (二重根)时，对应特征向量都是k (0.4082 0.8165 -0.4082)Tk为任意常数。

6.2 正交矩阵及二次型

A为n阶方阵，且满足：A?A?E(即A'?A?1)，则A为正交矩阵

A为正交矩阵?A的各列(行)向量的长度为1，而且A的各列(行)向量两两正交。 6.2.1向量的长度（范数）

命令 norm

格式 norm(X) % 求X的范数 6.2.2求矩阵的正交矩阵

命令：orth

格式：orth(A) %将矩阵A正交规范化

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